图像变换的不变性和偏微分方程应用.ppt

实际上，如果B∈B 那么AeB∈B 其中 令h→0，n→∞，并且nh2=t，令s=h2/3，那么 是下面偏微分方程初值问题在t时刻的解 被称为AMSS（affine morphological scale space）方程。 该方程在t时刻的解可以作为对图像u0滤波的结果，数值解法 ut = u0 + t | Du | ( curv(u) )1/3 这个滤波器别称为AMSS算子，具有仿射不变性和对比不变性。 原图 AMSS算子作用结果 与MCM算子类似，也就有保留边缘信息的效果。 6.7 几个常用的例子 Catte-Dibos算子： 令B 是所有长度为2，中心在原点的线段集合，算子定义为 对其局部化有 类似有 相应的微分性质： 如果图像函数u在x0的某个邻域内是C3的，那么 1/2·(ISh + SIh) u(x0) = u(x0) + 1/4· h2 ·curv(u) | Du |(x0) + O(h3) Rudin Osher Shock Filter算子（锐化算子）： 令Dh是一个圆心在原点，半径为h的圆盘，Mean表示圆盘中图像灰度的中间值，定义带局部化参数的算子： 微分性质： 可以证明上述三个算子满足对比不变、平移不变和灰度平移不变。 由medk的定义可得 ?m , |Xm - x|k ≥1∕2 因为Xm是一个单调减的集合序列，同时具有有限的测度，根据实变函数中的Lebesgue极限收敛定理 |Xm - x|k → |Xl - x|k 并且|Xl - x|k≥1/2，再由medk的定义，有x∈medkXl 即 medk(Xl)?∩m﹤l medk(Xm) ■ 其中 可测，且 其中 可测，且 则有 若 定义9：图像的加权中值滤波器基于一个结构元素B，其定义为 显然，medk(u)是个sup inf型的，是一个平移不变的形态学算子。 如果在记号上不区分图像中值滤波器和集合中值算子，都记为medk。 medk作为一个单调的集合算子，可以用最大值表现公式扩展到一个图像的变换T（定理4） Tu(x) = sup{ u(x) | x∈medk(X) } 同时满足 cl(Tu) = medk(clu) 由于medk作为一个单调、平移不变的集合算子，所以T是一个单调的、对比不变的变换，根据定理7 其中B = { B,0∈medk(B) }。所以有： 定理13：medk是图像加权中值滤波器的伴随集合算子。 6.4.2 中值算子的离散算法 已知图像u的分辨率为m×n，u[i,j]（i=1,…m,j=1…n）表示在[i,j]处的灰度值，取结构元素为B，t为参数，V[i,j]表示运算的结果： Median(u,B,t) NB = 结构元素B的像素数目 FOR x0 = 1 to m FOR y0 = 1 to n FOREACH(B中的像素点p) 得到p的坐标(px,py) 将u[x0+px,y0+py]的灰度值存入数组array中 对array进行排序，排在第（NB/2+1）的值med_array 令v[x0,y0]=med_array END FOREACH END END 噪声图像及32：32：224水平线 中值滤波后图像及32：32：224水平线 Matlab源码： Image = imread(lena.bmp); subplot(2,3,1),imshow(Image); I = imnoise(Image,salt pepper,0.05); subplot(2,3,2),imshow(I); L_s_I = Level_Set_Line(I,32,32,256); subplot(2,3,3),imshow(uint8(L_s_I)); M = medfilt2(I,[3,3]); subplot(2,3,5),imshow(M); L_s = Level_Set_Line(M,32,32,256); subplot(2,3,6),imshow(uint8(L_s)); 6.5 欧氏不变的形态学算子 6.5.1 定义和微分性质 记 H[a] = T[x1