第一讲 函数极限连续(改).ppt

说明: 推广1： 6） 解： 利用泰勒公式求极限 7) 解: 原式 已知 解： 例5. 例6. 解： 例7： 设对同一变化过程 , ? , ? 为无穷小 , 无穷小的性质, (1) 和差取大规则: 由等价 可得极限运算的下述规则. 若 ? = o(?) , (2) 和差代替规则: 例如, 例如, -----看低阶 (3)乘除代替规则: 则 例如, ? 例1. 求 解: 原式 和差不能滥用 例8： 为非负常数 ) 推广2： 分母同除以绝对值最大的项. ”型， 则分子， 若在某一过程中为“ 例9： (00,1,5) 解： 因为 例9：求下列极限 1） 解： 例10：求下列极限 2） 解： 原式 3） 解： 原式= 或 推广: 公式II： -------------------基本型 (11,3,10) (11,1,10) (11,2,10) 解: 2. 求 解: 由夹逼准则可知 而 因 (06,1/2,12) 例. (Ⅰ)证明 (Ⅱ)计算 (I) 用归纳法证明 单调下降且有界. 由 得 设 则 所以 单调下降且有下界, 故 存在. 记 由 得 所以 即 因为 (Ⅱ) 解法1: 又由(I)知 所以 解法2: 故 因为 * 返回 第一讲 函数 极限与连续 函数、极限、连续的概念及其性质与运算， 是学习高等 亦是由初等数学过渡到高等数学的桥梁， 有关它的内容几乎渗透在每一道试题中， 考生不能忽视. 数学的的基础， 一、考试要求 二、主要内容 三、典型例题分析 一、考试要求 1.理解函数的概念， 2.了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性． 3.理解复合函数及分段函数的概念， 4.掌握基本初等函数的性质及其图形， 5.理解极限的概念， 6.掌握极限的性质及四则运算法则. 理解函数左极限与右极限的概念以及 函数极限存在与左、右极限之间的关系． 了解反函数及隐函数 的概念． 了解初等函数的概念. 掌握函数的表示法， 会建立应用问题 的函数关系. 8.理解无穷小量、无穷大量的概念， 9.理解函数连续性的概念（含左连续与右连续）， 10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性， 7.掌握极限存在的两个准则， 并会利用它们求极限， 掌握利用两个重要极限求极限的方法． 掌握无穷小量的比较方法， 会用等价无穷小量求极限． 会判别函数间断点的类型． 理解闭区间上 并会应用这些性质． 连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理)， 会求函数的定义域及函数的表达式或函数值、会判别函数 1、掌握基本初等函数的性质及图形 2、理解极限的定义和它们的性质 二、主要内容 的特性(主要是单调性、奇偶性、有界性) 数列的极限可看成函数极限的特例 (收敛数列的有界性、收敛数列与其子数列的关系 有极限的函数的局部有界性与局部保号性) (16个基本函数) 二、主要内容 (一) 关于函数 2.会求函数的定义域及函数表达式(或函数值) 3.会判别函数的特性( 有界性、单调性、周期性、奇偶性) 1.掌握16个基本函数的名称、表达式、定义域、值域、 特征、图形. (二) 关于极限 要理解它的概念及性质， 并会求各种形式的极限. 1、数列极限： 1）按自变量的变化趋势分为六种： 2、函数极限： 2）函数极限的定义及极限存在的充要条件. 极限存在的充要条件： 左极限 : 右极限 : 当 时, 有 当 时, 有 极限存在的充要条件： 3)极限的性质 (数列的极限可看成函数极限的特例) 收敛数列的有界性、收敛数列与其子数列的关系 有极限的函数的局部有界性与局部保号性 极限的唯一性 4) 无穷小与无穷大的定义 无穷小的阶 若 称 ? 是比 ? 的高阶无穷小， 称 ? 是比 ? 的低阶无穷小 称 ? 与 ? 是同阶无穷小 称 ? 与 ? 的等价无穷小， 称 ? 是 ? 的 k 阶无穷小. 定义： 常用的等价无穷小： 如： 注记： (11,2/3,4) 分析： (可用 洛必达法则 或 泰勒公式 求) 极限存在的两个准则 及两个重要极限. 4)掌握极限运算法则、 (夹逼准则与 与单调有界准则) (1)求数列的极限常用方法有： 夹逼准则、 或 根据函数极限与数列极限的关系转化为函数极限. 5)重点掌握求极限的方法 单调有界准则、 重要公式 (常用来证明数列收敛) 2)求函数极限的常用方法： (1)利用函数的连续性求极限; 如：多项式与分式函数代入法求极限. 2) 因式分解或根式有理化消去零因子法， 4)利用等价无穷小替换化简求极限. 2)对多项式之比时分子、分母同除以它们中 1)用洛必达法则 ， 1)用洛必达法则 ， 的最高次幂. 5)用泰勒公式 ， 一般的方法是