§1.8复系数与实系数多项式因式分解.ppt

* * * 一、复系数多项式 二、实系数多项式 1. 代数基本定理 一、复系数多项式 若 则 在复数域 上必有一根． 推论1 若 则存在 使 即， 在复数域上必有一个一次因式． 推论2 复数域上的不可约多项式只有一次多项式，即 则 　　可约． 2. 复系数多项式因式分解定理 若 则 在复数域 上可唯一分解成一次因式的乘积． 推论1 推论2 若 则 在 其中 是不同的复数， 上具有标准分解式 复根（重根按重数计算）． 若 ，则 有n个 二、实系数多项式 命题：若 是实系数多项式 的复根，则 的共轭复数 也是 的复根． 若 为根，则 两边取共轭有 ∴ 也是为 复根． 证： 设 实系数多项式因式分解定理 　　　　　 ，若 ， 则 可唯一 地分解成一次因式与二次不可约因式的乘积． 证：对 的次数作数学归纳． ① 时，结论显然成立. ② 假设对次数n的多项式结论成立． 设 ，由代数基本定理, 有一复根 ． 若 为实数, 则 ，其中 若 不为实数，则 也是 的复根，于是 设 ，则 即在R上 　　　　是 一个二次不可约多项式． 从而 由归纳假设 、 可分解成一次因式与二次 不可约多项式的乘积． 由归纳原理，定理得证． 在R上具有标准分解式 推论1 其中 且 　 ，即 为 R上的不可约多项式.