关于五角星和七边形.doc

关于cos(π/7)的完全根式表示 1．引题：cos(π/5)与五角星 对于cos(π/5)的实数表示，可利用五角星的边角关系求出其确切表达。截取五角星一角得三角形，如图1所示。?ABC中，角∠A对应角即为五角星尖角，α=36゜,CD为∠ACB的角平分线，设AB=b,BC=a，由角关系得出线段长度关系如图所示。CD 作为角平分线，由角平分线性质有：AC/BC=AD/BD，即：b/a=a/(b-a)。再设b/a=x,则上式变为:x(x-1)=1,解此方程得： x=1+52（舍去一负根） 再根据余弦定理得：cosA=AB2+AC2-BC22AB*AC=b2+b2-a22b*b=1-12x2=5+14 至此，已求得cos(π/5)=5+14 顺道提及∠C的余弦值，由二倍角公式有： cos（C)=cos（2A)=2cos2A-1=2(5+14)2-1=5-14 cos2π5=5-14,而黄金分割比：?=5-12，故有：2cos2π5=?。2cos2π5在图1中含义即为BC与AB长度之比，这也不难看出黄金分割比与五角星的关系。至于符合黄金分割比的物体为何富有美感，此无关于文章主题，有兴趣可自行探索。 2．主题：cos(π/7) 类似于引题所用的方法，我构造出如图2所示的三角形。设AB=a,BC=b(注意这与前面的a、b无关，后面也是，仅仅是我用字母的习惯所致，不要误解)。CD、CE为∠ACB的角三分线AE=a,BE=b-a(其他线段由角关系可推断长度关系，已在图中一一标明，在此不再赘述)，现在最重要的问题是如何构造方程了。 图2?ACE中，CD为∠ACE的角平分线，在此我不得不引进关于角平分线的另一个公式来建立方程了了。（之所以不用?BCD建立方程，因为图中DE的长度用a、b表示太过繁杂） 如图3所示，l 为向量c、d的角平分线，则向量c-d必被l分割成长度比为c:d的两段同向向量，l可表示为d与其中一段之和，在此计算过程不再详述了，结果为： l=cd+cdc+d 联系到边长分别为a、b、c的三角形，如图4。由 上式即有：l=ab+aba+b 至此很容易得出角平分线的长度公式了，将上式两边平方得： l 2=ab(2ab+2ab)(a+b)2 在图4所示三角形中，结合余弦定理和向量数量积定义有： a2+b2-c2=2ab 因此得:l 2=ab(2ab+2ab)(a+b)2=ab(2ab+a2+b2-c2)(a+b)2=ab(a+b+c)(a+b-c)(a+b)2。 总结上述，边长分别为a、b、c的三角形，c边所对的角平分线长度为：l=ab(a+b+c)(a+b-c)a+b 回到图2的?ACE，既然CD为∠ACE的角平分线，参照图示各边长度，根据上述角平分线长度公式得（注意a、b是图2所示的）： a(b-a)(b+a)(b-a)b=a 设x=b/a，则上式可化为：x3-2x2-x+1=0 对于一元三次方程的解析解，一般运用卡丹公式求得，公式表达太过繁复，在此就不再赘述。上式方程可变形为： x-233-43x+827-x+1=0 令y=x-23，方程进一步化简整理为：y3-73y-727=0 至此就要运用到卡丹公式的精粹了，令y=3p+3q,将该式两边立方并整理得：y3-33pq3p+3q-p+q=0 这不就是y3-33pqy-p+q=0吗！ 将上式各次项系数与关于y的方程各次项系数一一对应，即得： 33pq=73；p+q=727.两式联立即是解二元二次方程组了，解得： p,q=754±7318i（i为虚数单位） 那么问题来了，既然y=3p+3q=3754+7318i+3754-7318i，那怎么将它化简呢？ 到此又将引进公式了。p、q既互为共轭复数，在复数域可看作向量，其模长相等，幅角关于实数轴对称，同次乘方或同次开方其模长和幅角增大或缩小的幅度都相同，两者相加其在虚数轴上的分量都将相消，得到的必定是一实数。 对于共轭复数同次开方之和,即:na+bi+na-bi. 设a=R?cosθ,b=R?sinθ,必有R2=a2+b2.则 na+bi+na-bi=nRncosθ+i?sinθ+ncosθ-i?sinθ 借助欧拉公式：eiθ=cosθ+i?sinθ，上式化为： nRneiθ+ne-iθ亦即：nReiθn+e-iθn,再次利用欧拉公式展开得： 2nR?cosθn.而根据复数的幅角定义有tanθ=ba，即θ=tan-1ba.综上可得： na+bi+na-bi=22na2+b2costan-1ban ???到y=3754+7318i+3754-7318i的化简，依上述公式有： y=67542+73182*costan-173187543=273costan-1333 故x=y+23=273costan-1333+23 回到最初的起点图2