弹性力学课件第六讲-空间问题的解答.ppt

第六讲空间问题的解答 本讲学习指南 本章学习指南 主要内容 §6.1 按位移求解空间问题 按位移求解空间问题＿具体过程 按位移求解空间问题＿总结 按位移求解空间问题＿总结 主要内容 §6.2 半空间体受重力和均布压力 半空间体受重力和均布压力 半空间体受重力和均布压力 主要内容 §6.3 半空间体在边界上受法向集中力 半空间体在边界上受法向集中力 半空间体在边界上受法向集中力 主要内容 §6.4 按应力求解空间问题 按应力求解空间问题＿具体过程 按应力求解空间问题＿总结 按应力求解空间问题＿总结 　　本讲将介绍空间问题求解的基本方法－按位移求解和按应力求解。主要内容如下： 　　1、按位移求解空间问题； 　　2、按位移求解空间问题的应用（半空间体受重力和均布压力、半空间体在边界上受法向集中力）； 3、按应力法求解空间问题； 弹性力学一般空间问题的未知数为15个：6个应力分量、6个应变分量、3个位移分量。基本方程数为15个，此外还有边界条件和变形协调方程。 空间问题与平面问题具有相似性：基本未知数、基本方程、边界条件和求解方法均是类似的； 空间问题的两种基本解法（按位移和按应力）与平面问题相比，在思路和步骤上极其相似，可参照平面问题来学习和理解； 对于空间问题，位移法比应力法更重要。它能适用于各种边界条件，并且基本未知函数数目相对更少； 按位移求解空间问题 半空间体受重力和均布压力 半空间体在边界上受法向集中 按应力求解空间问题 按位移求解：以 3 个位移分量为基本未知函数，从 15 个基本方程和边界条件中消去应力分量和应变分量，导出只含 3 个位移分量的基本微分方程和边界条件，由此解出位移分量。然后根据几何方程和物理方程求应变分量和应力分量。 以 3 个位移分量为基本未知函数。为了消元，其它 12 个未知函数须用 3 个位移分量表示； 1、应变用位移表示：直接采用几何方程 ； 2、应力用位移表示：将几何方程代入用应变表示的物理方程，得到用位移表示的物理方程 ； 3、求解位移的最基本方程：将上述弹性方程代入平衡微分方程，可得用位移表示的平衡微分方程， 它是按位移求解的最基本方程； 4、边界条件用位移表示：代入应力边界条件，得到用位移表示的应力边界条件；对于位移边界条件，其形式不变； 　（1）使位移分量在区域内满足用位移表示的平衡微分方程 ； 　（2）同时在边界上满足用位移表示的应力边界条件或位移边界条件 。 　上述条件也是位移解的校核条件。 求解出位移分量后，代入几何方程求应变分量，也可以进一步求应力分量。 空间问题按位移求解的方法，位移满足条件为： 总之，其位移满足条件为： （1）在区域内满足平衡微分方程 ； （2）在边界上满足用位移表示的应力边界条件或位移边界条件。 　　上述条件也是位移解的校核条件。 　　求解出位移分量后，代入几何方程求应变分量，进而求出应力分量。 空间轴对称问题按位移求解：此类问题基本方程和基本未知函数都简化为 10 个。按位移求解的推导过程与上面完全相同，只不过方程的个数及具体形式不同。并且，其边界面多为坐标面，边界条件相对简单。 按位移求解空间问题 半空间体受重力和均布压力 半空间体在边界上受法向集中 按应力求解空间问题 如图所示，有半空间体，密度为r，在水平边界上均布压力q。 显然，它属于空间问题。坐标系如图所示。采用按位移求解的方法，其基本未知函数为三个位移分量，必须满足： （1）在区域内满足用位移表示的平衡微分方程； （2）同时在边界上满足用位移表示的应力边界条件或位移边界条件 。 1、如图可知，该问题具有对称性，任何x和y面均为对称面，而x和y向的位移本身不对称于任意垂直平面，故可作如下假设： 2、将上述位移代入用位移表示的平衡微分方程，前两式自然满足，第三式经整理后成为如下的常微分方程： 积分得： 3、求应力分量：将所求得的位移代入用位移表示的物理方程，整理得： 为了求得常数B，必须利用位移边界条件。为此假定半空间体在距边界为h处没有位移，即有如下位移边界条件： 4、由边界条件确定选定常数A和B 代入可解得常数A： 由此解得常数B，进而求得所有的应力分量、应变分量、位移分量。 上边界面上的边界条件为： 按位移求解空间问题 半空间体受重力和均布压力 半空间体在边界上受法向集中 按应力求解空间问题 如图所示，有半空间体，体力不计，在水平边界上受法向集中力F。 显然，它属于空间轴对称问题，其对称轴就是集中力的作用线。坐标系如图所示。采用按位移求解的方法，其基本未知函数只有两个位移分量，且与环向坐标 j 无关，只是径向坐标 r 和轴向坐标 z 的函数。它们必须满足： 1、在区域内满足用位移表示的空间轴对称问题的平衡微分方程； 　由于集中力作用