弹性力学空间问题解答.pptx

第七章弹性力学空间问题（参考教材第6、7章） 空间问题求解的基本思路与平面问题相同，只是问题的维数从二维扩展到三维，求解更复杂。

7-1空间问题的基本方程平衡微分方程方程

几何方程

物理方程各种弹性常数之间的关系

相容方程

位移边界条件：对于给定的表面Su，其上沿x，y，z方向给定位移为，则应力边界条件：给定表面上的面力为边界条件：

求解空间问题同样有位移法、应力法和应力函数法三种方法。1.位移法：将几何方程代入物理方程，得到用位移表示的应力分量，再将应力分量代入平衡方程和应力边界条件，即得到空间问题的位移法控制方程。2.应力法：以应力作为基本未知量。将相容方程用应力表示——应力控制方程3.应力函数法：先引入应力函数，满足微分平衡方程。 由微分平衡方程得应力函数与应力分量的关系，再将用应力函数表示的应力分量代入相容方程，得到一组用应力函数表示的相容方程，即应力函数表示的控制方程。

01柱坐标系下的基本方程02直角坐标系下，空间一点M的位置由（x,y,z）表示，在柱坐标系下，空间一点M的位置由（r,q,z）表示。两坐标间的关系为：03在柱坐标系下的应力分量为04应变分量为05位移分量为7-2柱坐标和球坐标系下的基本方程

平衡方程01（7-1）02柱坐标表示的基本方程

几何方程（7-2）

（7-3）或（7-4）物理方程

No.3（7-5）当物体的几何形状、约束情况以及外力都对称于z轴时，则称为空间轴对称问题。在空间轴对称问题中，有：应力分量、应变分量、位移分量仅是r，z的函数，与q无关。No.2No.1

平衡方程：将式（7-5）代入式（7-1），得01（7-6）02几何方程：将式（7-5）代入式（7-2），得03（7-7）044.空间轴对称问题的基本方程

物理方程：将式（7-5）代入式（7-4），得（7-8）

空间轴对称问题共有四个应力分量，两个位移分量。以位移求解更方便。将几何方程（7-7）代入物理方程（7-8），得（7-9）空间轴对称问题位移求解的基本方程

1位移控制方程2将式（7-9）代入平衡方程（7-6），化简后得（7-10）3不计体力：（7-11）

为求得式（7-11）的解，拉甫（）引进一个位移函数，它和位移分量有如下关系：（7-12）（7-13）将式（7-12）代入式（7-11），其中第一式满足，第二式为：表明为双调和函数，称为拉甫位移函数。

将式（7-12）代入式（7-9）,得应力分量与位移函数的关系式:（7-14）对空间轴对称问题，只要找到满足式（7-13）的位移函数，代入式（7-12）和式（7-14）求出位移和应力分量。如能满足边界条件，即为问题的解。拉甫位移函数的量纲比应力分量高三次

球坐标表示的基本方程（自学）见教材P144~145

设有一半空间体，不计体力，在水平边界受法向集中力P作用。1x2y3z4M(r，z)5r6z7选P的作用点为坐标原点，Oz轴与P的作用线重合。水平边界面为xOy面。87-3半空间体在边界上受法向集中力

由因次分析，设想体内的应力分量表达式是力P与坐标r，z等长度坐标的负二次幂相乘，即在半空间体中过任一点M（r，z），作与边界平面平行的水平截面，取半空间体的上部分，在z方向有平衡条件应力边界条件：

位移函数比应力分量高三次，即位移函数应为P与r,z等长度坐标的正一次相乘的形式。同时，随M点离O点越远，位移越小，即与R成反比。为此，设代入式（7-12）和式（7-14），得位移分量和应力分量（c）（d）

将应力分量式（e）代入边界条件（a），式（a）第一式满足，但式（a）第二式不满足。010203

为使边界条件（a）的第二式满足，应叠加一个位移函数，它在z=0处有，且给出的能与式（f）抵消。叠加的位移函数应是双调和函数，且是长度坐标的零次幂。由此条件，试算后，取0102

对应的位移分量和应力分量为：

两个位移函数式(e)和式（h）叠加后，边界条件（a）的第一式仍满足，第二式为：即由平衡条件（b），得由式（i）和式（j），得

最终的位移分量和应力分量为：

由式（k）的第二式可见，水平边界上任意一点的垂直位移（即工程中关心的地表沉陷量）为

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