不定积分的求解与相关应用.doc

数学系 数学教育专业 《不定积分计算的各种方法》 PAGE \* MERGEFORMAT- 2 - PAGE \* MERGEFORMAT- 1 - 不定积分的求解及相关应用 目录 摘要 一 引言 二 不定积分的求解方法及所对应例题解析 （一）基本公式法（直接积分法） （二）逐项积分法、因式分解法 （三）“凑”微分法（第一类换元法） （四）第二类换元法（参变量积分法） （五）分部积分法 （六）有理函数的积分 （七）其他类型的积分举例 三 解不定积分的一般步骤 四 不定积分的应用举例 在几何中的应用 在物理中的应用 在经济学中的应用 参考文献 致谢 【摘要】不定积分常见的计算方法在本科阶段可以归纳为七大类以及某些特殊不定积分的求解方法，如：基本公式法（直接积分法）、逐项积分法+因式分解法、换元积分法（第一类换元法和第二类换元法）、分部积分法、有理函数的积分以及一些特殊函数的积分技巧与方法（三角函数有理式与简单无理函数的积分），并将结合实际例题加以讨论以便于解不定积分题目既能快捷又方便的寻找出最佳的解题方法。 （英文摘要，暂略） 【关键词】 不定积分 基本公式法 换元积分法 分部积分法 有理函数的积分 三角函数有理式与简单无理函数的积分 （英文关键词，暂略） 一 引言 定积分的思想在古代就已荫芽，但是17世纪下半叶之前，有关定积分的完整理论还未形成。直到牛顿一莱布尼茨公式建立以后，计算问题得以解决，定积分才迅速建立发展起来，并对数学的进一步发展做出了巨大的贡献。在初学定积分时，学生学习的困难较大，所以先引进求导的逆运算一一求不定积分，为学生的学习提供了方便，拓展了学生的思维。20世以来，随着大量的边缘科学诸如电磁流体力学、化学流体力学、动力气象学、海洋动力学、地下水动力学等等的产生和发展，相继出现各种各样的微分方程，通过不定积分我们得出这些问题解，从而处理各种科学问题，促进社会发展。所以不定积分的求解不仅是学校对我们的要求，也是适应社会发展的学习趋势。 不定积分是《数学分析》中的一个重要内容，是一元微积分中非常重要的内容之一，是积分学中最基本的问题之一，又是求定积分、广义积分，瑕积分、重积分、曲线积分以及各种有关积分的基础。牢固掌握不定积分的理论和运算方法，可以使学生进一步巩固所学的导数和微分学及其它相关的数学知识，掌握好不定积分的求解方法对于学习这些后续内容是非常重要的。 同一道题也可能有多种解法，多种结果，所以当今学生们解决不定积分的题目普遍觉得困难，即便最后解决了题目，可能也走了许多弯路。最后若能从“弯路”中总结不定积分的求解方法，那么那些“弯路”都是有价值的，但是若只求结题，事后不思考、总结，那就是在浪费时间，也逐渐减少了学生对学习数学的热情。不定积分的解法不像微分运算有一定的法则，它需要根据不同的题型特点采用不同的解法，因此积分运算比起微分运算来，方法更多样，技巧性更强。下面针对一些常见函数的不定积分的各种求解方法进行分类归纳，希望能提供一种简便的有效途径使得大学生具备解决不定积分题目的便捷能力和基本素质。 定义1 如果在区间上，可导函数的导函数为，即对任一,都有 或, 那么函数就称为（或）在区间上的原函数。 原函数存在定理 如果函数在区间上连续，那么在区间上存在可导函数，使对任一都有，即连续函数一定有原函数。 定义2 函数在区间的所有的原函数称为函数的不定积分，表为 （，C为积分常数）, 其中称为积分符号，x称为积分变量，称为被积函数，称为被积表达式，C称为积分常数。 在这里要特别注意：一个函数的不定积分既不是一个数，也不是一个函数，而是这一函数的全体原函数，它的几何意义是一族平行的积分曲线，简称为积分曲线族。例如： ，而； ，而； ，而. 也就是说：和是不相等的，即前者的结果是一个函数，而后者是无穷多个函数，所以，在书写计算结果时一定不能忘记积分常数。 二 不定积分的求解方法 （一）基本公式法（直接积分法） 既然积分运算是微分运算的逆运算，那么自然地可以从导数公式得到相应的积分公式，并且我们把一些基本的积分公式列成一个表，这个表通常叫作基本积分表： ⑴、,其中k是常数. . ⑵、，其中是常数，且. ⑶、,. ⑷、,其中. . ⑸、. ⑹、. ⑺、 ⑻、 ⑼、 ⑽、 ⑾、 ⑿、 ⒀、 ⒁、 ⒂、 ⒃、 当我们看到所求不定积分已经对应了公式中的某一条，如 ，则用公式法求解。在实际问题中，一般不是很简单，需将原题通过其他方法进行变换，从而满足基本积分表再计算。例如：. 例2.1.1 计算. 解：原式 说明：为任意的常数，因此可用一个常数C来表示。以后对于一个不定积分