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微 积 分 链接目录 参考书 第四章单调性及其判定 微积分 莫兴德 广西大学 数信学院 Email:moxingde@gxu.edu.cn 复习 第九章 微分方程 第八章 多元函数 第七章 无穷级数(不要求) 第六章 定积分 第五章 不定积分 第四章 中值定理,导数的应用 第三章 导数与微分 第二章 极限与连续 第一章 函数 [1]赵树嫄. 微积分. 中国人民出版社 [2]同济大学. 高等数学. 高等教育出版社 单调性及其判定 Lagrange定理 给出了 函数在某区间上的增量与函数在区间内某点处的 导数之间的关系，为利用导数反过来研究函数的 性质或曲线的形态提供了一座桥梁。本节我们就 来讨论这方面的问题，主要介绍：单调性、极值 最值、凹凸、拐点和曲率。 一、单调性的判别法 函数在某区间上是否具有单调性是我们在研究 函数的性态时，首先关注的问题。第一章中已经给出了函数在某区间上单调的定义，但利用定义来判定函数的单调性却是很不方便的。 从几何图形上看，表示单调函数的曲线当自变量 在单调区间内按增加方向变动时，曲线总是上升（下降）的。进一步若曲线在某区间内每点处的切线斜率都为正（负），即切线的倾角全为锐（钝）角，曲线就是上升（下降）的 定理 证 应用拉氏定理,得 注 ①若在(a,b)内至多有有限个导数等0的点和至多 有限个不可导点，而在其余点处均有 则由连续性，结论仍成立 ②此判定法则对其它各种类型的区间仍适用 例1 解 二、单调区间求法 问题:如上例，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调． 定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间. 导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点． 方法: 例2 解 单调区间为 0 2 0 1 ↗ ↘ ↗ + - + (2,+∞) (1,2) (∞,1) 定义域 例2 解 单调增加区间： 单调减少区间： 例3 解 单调区间为 例3 解 单调减少区间为 0 不存在 0 ↗ ↘ + - (0,+∞) (∞,0) 定义域 单调增加区间 例4 证 注意:区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性. 例如, 例5 证明 证 例6 设 证明 [分析] 如图所示 o x y 结论是显然的 证一 总之有 证二 或令 例7 证 或 利用单调性证明不等式的步骤： ①将要证的不等式作 恒等变形（通常是移项）使 一端为0另一端即为所作的辅助函数f(x) ②求 验证f(x)在指定区间上的单调性 ③与区间端点处的函数值或极限值作比较即得证 三、小结 单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用. 定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然成立. 应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式. 思考题 思考题解答 不能断定. 例 但 当 时， 当 时， 注意 可以任意大，故在 点的任何邻域内， 都不单调递增．