指数函数幂函数对数函数增长快慢的比较.doc

指数函数·幂函数·对数函数增长快慢的比较（案例） 背景： 时间：2009年5月 地点：西安市远东第一中学 参与人员：王军红老师 高一（7）班学生 起因：在高一第一学期学完幂函数，指数函数，对数函数后，课本有一节研究性学习课，《指数函数，幂函数，对数函数增长的比较》，本课涉及到画函数图象，比较函数值的大小，但因局部图形的对比难以体现基本关系，且数据计算量很大所以，准备以惠普计算器辅助教学。 我准备用不同的方式对两个班级分别进行教学。在高一（7）班利用惠普计算器指导学生进行探究，在高一（5）班用常规方法教学，想从学生兴趣，学习效果，学生体会异同几个方面进行教学效果对比。 主题： 本案例是教师指导学生利用惠普计算器，通过画函数图象，列出函数值表，观察指数函数，幂函数，对数函数增长的快慢，发现，体会“指数爆炸”这一函数值极速增长的现象，培养数形结合的数学思想，激发学生主动探究问题的兴趣，提高自主学习能力，并鼓励学生尝试写出研究小论文。 教学过程： 提出问题： 当a1时,指数函数y=为增函数； 当n0,x0时,幂数函数y=为增函数； 当a1时,对数函数y=为增函数； 它们那个增长的较快？ 实验一： 比较函数（只考虑x0的情况）增长的快慢 。 输入函数解析式，画图。（指导学生动手操作，学生参与积极，并能与他人合作交流。） 引导学生观察图像，发现，对数函数增长显然先快后慢，而幂函数和指数函数增长的快慢则交替出现。 求得的第一个交点是（2，4）。 利用光标跟踪，发现当x2时，的图像在图像的上方，总是如此吗？ 引导学生改变坐标单位倍数，求得的第二个交点是（4，16）。 适当对坐标进行缩放： 当x4时，图像观察不是很方便，光标跟踪效果不好，指导学生利用数据表进行比较： 观察数据表，学生好奇而惊讶的发现：当x4时，的函数值比的函数值增长的越来越快，直至呈“爆炸”性增长。 实验二： 比较函数（只考虑x0的情况）增长的快慢。 学生动手输入函数解析式，画图。但画不出的图像。 因数据过大，溢出pc计算能力，画不出的图像，指导学生所以利用数据表进行比较： 指导学生输入不同的自变量值，让学生观察的函数值和的函数值的变化情况，学生发现当自变量值较小时，的函数值远小于的函数值，而当自变量值较大，x996时, 的函数值大于的函数值，且的函数值极速增大。 结论： x0时，对数函数增长显然先快后慢，而幂数函数和指数函数增长的快慢则交替出现。 存在实数t, 当xt时，指数函数y=的函数值极速增大，称“指数爆炸”。 练习： 比较函数（只考虑x0的情况）增长的快慢 。 探索研究： 函数的交点个数？ 结果： 两个班级学生的感受差异较大，对比班高一（5）班学生对指数函数，幂函数，对数函数增长的快慢仅仅有了一个初步的了解，对图像和函数值的观察体会仅限于静态的，局部的，自变量较小时的状况，学习效果一般。 实验班高一（7）班学生利用惠普计算器，动态情形下验证了有关猜想和判断，从函数值的迅速增大，图像的激素变化，体会“指数爆炸”的意义，收到了很好的教学效果。同时，实验班学生对问题继续进行深入，全面的探究，他们兴趣浓厚，还在课后交流合作，写出了多篇研究性学习小论文（附后若干）。 评析： 学生的学习贵在自身的感受，只有切身体会了知识和方法的产生和应用过程，才能真正提高能力。常规的数学教学多限于抽象的逻辑推断，但若能借助某些较好的教学媒体，将数学问题动态化，利用图形，数据的观察，比较发现并归纳出一些结论，易于学生理解和掌握，并能很大程度激发学生学习和研究的兴趣，提高学生参与的主动性，积极性，从而使学生感受更深，收获更大。本节课利用惠普计算器辅助教学，形象，生动，具有说服力的探究了指数函数，幂函数，对数函数增长的快慢，增强了学生的探究意识和分析，归纳能力。学生参与性强，积极性高，体会深刻，教学效果好。