第2章--线性系统的数学模型--练习与解答.doc

第二章 控制系统的数学模型 习题及答案 2-1 试建立图2-27所示各系统的微分方程。其中外力，位移和电压为输入量；位移和电压为输出量；（弹性系数），（阻尼系数），（电阻），（电容）和（质量）均为常数。 解 （a）以平衡状态为基点，对质块进行受力分析（不再考虑重力影响），如图解2-1(a)所示。根据牛顿定理可写出 整理得 （b）如图解2-1(b)所示，取A,B两点分别进行受力分析。对A点有 （1） 对B点有 （2） 联立式（1）、（2）可得： (c) 应用复数阻抗概念可写出 （3） （4） 联立式（3）、（4），可解得： 微分方程为: (d) 由图解2-1（d）可写出 （5） （6） （7） 联立式（5）、（6）、（7），消去中间变量和，可得： 微分方程为 2-2 试证明图2-28中所示的力学系统(a)和电路系统(b)是相似系统（即有相同形式的数学模型）。 解 取A、B两点分别进行受力分析，如图解2-2(a)所示。对A点有 (1) 对B点有 (2) 对式（1）、（2）分别取拉氏变换，消去中间变量，整理后得 = (b) 由图可写出 = 整理得 = 比较两系统的传递函数，如果设则两系统的传递函数相同，所以两系统是相似的。 2-3 假设某容器的液位高度与液体流入量满足方程， 式中为液位容器的横截面积，为常数。若与在其工作点附近做微量变化，试导出关于的线性化方程。 解 将在处展开为泰勒级数并取一次近似 （1） 代入原方程可得 （2） 在平衡工作点处系统满足 （3） 式（2），（3）相减可得的线性化方程 2-4 试求图2-29所示各信号的象函数。 解 （a） = （b） = （c）= 2-5 求下列各拉氏变换式的原函数。 (1) (2) (3) 解 (1) 原式 ＝ x（t）＝ (3) 原式 ＝ ＝ 2-6 已知在零初始条件下，系统的单位阶跃响应为 ，试求系统的传递函数和脉冲响应。 解 单位阶跃输入时，有，依题意 2-7 已知系统传递函数 ，且初始条件为，，试求系统在输入作用下的输出。 解 系统的微分方程为 （1） 考虑初始条件，对式（1）进行拉氏变换，得 （2） 2-8 求图2-30所示各有源网络的传递函数。 解 (a) 根据运算放大器 “虚地”概念，可写出 (b) (c) 2-9 某位置随动系统原理框图如图2-31所示，已知电位器最大工作角度＝3300，功率放大器放大系数为。 分别求出电位器的传递函数，第一级和第二级放大器的放大系数，； 画出系统的结构图； 求系统的闭环传递函数。 解 (1) 电位器的传递函数 根据运算放大器的特性，可分别写出两级放大器的放大系数为 ， (2) 可画出系统结构如图解2-9所示： (3) 2-10 飞机俯仰角控制系统结构图如图2-32所示，试求闭环传递函数。 解 经结构图等效变换可得闭环系统的传递函数 2-11 已知系统方程组如下： 试绘制系统结构图，并求闭环传递函数。 解 系统结构图如图解2-11所示。 利用结构图等效化简或梅逊增益公式可求出系统的闭环传递函数为 2-12 试用结构图等效化简求图2-32所示各系统的传递函数。 解 （a） 所以：