武汉大学数学与统计学院2005-2006学年第一学期《线性代数》A卷(供理工科72学时用).doc

武汉大学数学与统计学院 2005－2006学年第一学期《线性代数》A卷（供理工科72学时用） 学院 专业 学号 姓名 注 所有答题均须有详细过程，内容必须写在答题纸上，凡写在其它地方一律无效。 一、计算下列各题（每题6分，3题共18分）： (1).计算行列式. (2).已知阶矩阵 ，且非奇异，求. (3).设是三阶实对称矩阵，其对应的二次型的正负惯性指数均为1，且满足，计算. 二、(12分)设，且，满足，求和. 三、(15分)设,.讨论为何值时,方程组无解、有唯一解、有无穷多解? 并在有无穷多解时，求出其通解. 四、(15分)设二次型, (1).求出二次型的矩阵的全部特征值； (2).求可逆矩阵，使成为对角阵; (3).计算(m是正整数). 五、(15分)设, 其中,；,. 求与的基与维数. 六、(15分)设是维线性空间上的线性变换,且满足,但. (1).证明,,,…,是的一组基； (2).求线性变换在这组基下的矩阵； (3).讨论能否和对角阵相似. 七、(10分)设阶方阵有个互不相同的特征值.证明:的充要条件是的特征向量也是的特征向量. （2005－2006上）线性代数A卷参考解答（理工科72学时） 一、 1. .＝ 2、； 3、－10 . 二、解：由初等变换求得＝1，由 ，得，由于，因此 可逆 ，且 三、解：经计算 因此方程组有唯一解。 时，对增广矩阵作行变换化为阶梯形: 因 ，即时无解。 时，同样对增广矩阵作行变换化为阶梯形: 因 ，所以时有无穷多解。等价方程组为: 令，得通解为： 四、解：1) 二次型的矩阵为A＝; | E-A|＝=(+1)(－2) 所以A的全部特征值为： ＝－1, ＝ ＝2 对 = —1, 解 (－E－A)X＝0 得基础解系为 ＝(1,1,1)； 对 ＝＝2, 解(2E—A)X＝0得基础解系为 ＝ (—1,1,0), ＝ (—1,0,1)。 2).令P＝＝，即为所求可逆阵，此时AP＝＝. 3) 五、　 故,且是的一组基.又显然有,,由维数公式得.考虑齐次线性方程组: 得基础解,进而得的基为. 六、 1.作组合，依次用作用于上式两边，即可得 2. 3.由于只有零特征值(重)，而的基础解系仅含一个解向量，没有个线性无关的特征向量，故不能与对角阵相似. 七、必要性：设是的特征值，是对应的特征向量．则，故 即．而是一维子空间，故，即也是的特征向量． 充分性：有个相同的线性无关的特征向量．取 则有　， 或　　， 由此即得．