随机微分方程及其应用.ppt

* * 2.分数阶导数RL定义 （2）RL分数阶导数 RL分数阶导数是在RL分数阶积分的基础上定义的，设 函数f(x)是定义在 上，则f(x)的α阶RL分数阶导数的 定义为 其中m是大于α的最小整数，且对于任意的 和 函数 在区间[a,x]上黎曼可积，函 数 在区间 上m阶可导。 * * * * * liuq1217@163.com liuq1217@163.com * * * 随机微分方程及其应用 * 随机微分方程的重要性 近年来，随机微分方程，随机分析有了迅速发展，随机微分方程的理论广泛应用于经济、生物、物理、自动化等领域。 在经济领域，用随机微分方程来解决期权定价的问题，在产品的销售，市场的价格等随机事件中，可根据大量的试验数据确定某个随机变量，并附加初始条件建立随机微分方程的数学模型，从而推断出总体的发展变化规律。 在生物领域，用于揭示疾病的发生规律以及疾病的传播流行过程，肿瘤演化机制等。 在物理领域，用于布朗粒子的逃逸与跃迁问题，反常扩散。 * * 随机微分方程——定义 设X为n维的随机变量,W为m维的维纳运动，b和B是给定的函数，并不是随机变量， ， 1、随机微分方程的定义： 那么随机微分方程可以表示成如下形式： 若X满足等式： 那么X就是此随机微分方程的解。 如果系数b和B分别满足：b(x,t)=c(t)+D(t)x，B(x,t)=E(t)+F(t)x,那么就称此方程为线性随机微分方程。如果c(t)=E(t)=0，那么线性随机微分方程是齐次的。如果F(t)=0，这称随机微分方程狭义上是线性。 * * * * 随机微分方程——解的形式 2、线性随机微分方程的解的形式 以上我们定义的是基于n维随机变量和m维布朗运动的随机微分方程，实际应用中大多数为一维的情况，以下给出一维中随机微分方程的解的具体形式 当m=n=1时，线性随机微分方程的一般形式如下： 解为： 其中 * 随机微分方程举例 2、线性随机微分方程举例 例1、股票价格 设P(t)表示在t时刻股票的价格，通过股票价格的变化率可以建立P(t)的随机微分方程： 其中υ和σ为常数，υ0 表示股票趋势项，σ表示股票波动项，则微分方程转化为下面的形式： 根据伊藤公式可知： 随机微分方程举例 可以解出P(t)： 由此可知，若初始价格为正直，则股票价格总是正的。 由随机微分方程可知： 并且 ，则可知： 可以解出： 因此股票价格的期望值由股票的趋势项决定，与股票的波动没有关系。 * 随机微分方程举例 例2：朗之万方程 存在摩擦力的情况下，布朗粒子的运动模型服从一维的随机微分方程， ，其中ξ表示白噪声，b0表示摩擦系数，σ表示扩散系数。在此方程中，X代表布朗粒子的运动速率。X0与维纳过程相互独立，因为白噪声是维纳过程对时间的导数，所以此方程等价于下面的随机微分方程： 根据线性随机微分方程解的形式可以求得此微分方程的解为： * 随机微分方程举例 可以求出X的期望： 则X的方差为： 则当t趋于无穷大时： 从解的形式来看，当t趋于无穷大时，X的渐近分布为正态分布 ，与初始分布无关。 * 随机微分方程举例 例3：乌伦贝克过程 布朗运动的另一随机微分方程模型： 其中Y(t)是t时刻布朗粒子的位移，Y0与Y1是给定的高斯随机变量，b0是摩擦系数，σ是扩散系数，ξ通常为白噪声。 若 ，即X表示速率，则原方程等价于以下朗之万方程： 则方程的解为： * 随机微分方程举例 则可以解出原微分方程的解Y(t)： 例4：随机谐波振子 其中 表示线性的保守势场力， 表示摩擦阻尼力，ξ表示白噪声，可以通过一般的公式来求解此随机微分方程。 当X1=0，b=0，σ=1时，随机微分方程的解为： * * 逃逸问题 随机谐波振子的微分方程进行推广可以的得到如下方程： 阻尼力，b是摩擦系