第4章蒙特卡罗仿真方法概念.pptx

航空航天中的计算方法 授课教师：陈琪锋 中南大学航空航天学院 第4章 蒙特卡罗仿真方法 2017-6-19 内容提要 4.1 蒙特卡罗法的基本概念 4.2 蒙特卡罗法的理论依据 4.3 随机变量的抽样 4.4 随机模拟结果的统计分析 参考资料： [1] 闫晓东,许志. 飞行器系统仿真实训教程, 西北工业大学出版社，2013. Chp. 6. [2] David L. Darmofal, Computational Methods in Aerospace Engineering (Lecture Notes), MIT, 2005. Chp. 15, 16. [3] Averill M. Law, 仿真建模与分析 (Fourth Edition), 清华大学出版社, 2009. Chp. 1.5. 2017-6-19 4.1 蒙特卡罗法的基本概念 问题 干扰和偏差客观存在，无法消除： 风、推力误差、结构和装配误差 如何分析干扰和偏差对飞行过程的影响？ 随机因素对系统运动影响的统计规律？ 蒙特卡罗（Monte Carlo）法 通过随机变量的统计试验（或随机模拟），求解问题近似解的数值方法，又称统计试验法或随机模拟法。 4.1 蒙特卡罗法的基本概念 2017-6-19 基本思想： 对随机现象总体进行抽样，通过样本的仿真和分析，对结果进行统计。 基本过程： 对影响系统的随机现象根据其概率分布产生随机样本（抽样）； 用确定性方法对样本进行分析； 对随机样本分析结果进行统计，得到统计规律。 4.1 蒙特卡罗法的基本概念 2017-6-19 蒙特卡罗法的基本步骤 （1）建立系统数学模型； （2）确定系统中的各种随机扰动因素及概率分布； （3）产生各随机扰动变量的抽样值； （4）将随机扰动变量的抽样值输入系统数学模型，进行确定性仿真计算，得到扰动下系统运动过程； （5）重复（4），进行多次抽样仿真，得到系统运动过程子样； （6）对子样仿真结果进行处理，得到系统运动的统计特征量。 4.1 蒙特卡罗法的基本概念 2017-6-19 4.2 蒙特卡罗法的理论依据 大数定理 如果随机变量X1，X2，…，XN独立同分布，且具有有限期望值E(X)∞，则： 即随机变量X的简单子样的算术平均值，当子样数N充分大时，以概论1收敛于它的期望值。 子样均值与数学期望的偏差？ 4.2 蒙特卡罗法的理论依据 2017-6-19 方差： 得： 4.2 蒙特卡罗法的理论依据 2017-6-19 中心极限定理 如果随机变量X1，X2，…，XN独立同分布，且具有有限非零的方差σ2，则当N充分大时，有： 其中α称为置信度，1- α称为置信水平。 蒙特卡罗方法（均值）的误差： α 0.5 0.05 0.003 tα 0.6745 1.96 3 4.2 蒙特卡罗法的理论依据 查标准正态分布表确定 精度提高一个数量级，试验次数N需增加2个数量级 2017-6-19 4.3 随机变量的抽样 4.3.1 随机数的产生 随机数序列——[0,1]上服从均匀分布的随机变量的抽样序列。 用专门的算法和程序可在计算机上生成伪随机数。 平方取中法、线性同余法、加同余法、平方同余法 确定的算法、给定初值（种子），确定的序列！！！ 需对伪随机数进行独立性、均匀性等统计性质的检验。 周期长、统计性质好的伪随机数，用于模拟试验造成的误差不大。 4.3 随机变量的抽样 2017-6-19 4.3.2 离散随机变量的抽样 设随机变量X，其概率分布为： 可按轮盘赌的方式，由产生的随机数序列进行抽样。 令： 依次产生随机数ri，若 则第i次抽样时随机变量X的抽样值为xk。 4.3 随机变量的抽样 2017-6-19 4.3.3 连续随机变量的抽样 直接法（反变换法） [0,1]上服从均匀分布的随机变量R的分布函数： 连续随机变量X的分布函数为F(x)是值域在[0,1]上单调增的连续函数，利用ri得到X的抽样值： 函数F-1(R)可显示表示时，才能应用。 4.3 随机变量的抽样 2017-6-19 例：指数分布随机变量的生成 参数为a的指数分布的概率密度函数： 累积分布函数： 反函数： 用随机数产生服从指数分布的随机变量X的抽样： 4.3 随机变量的抽样 2017-6-19 函数变换法 已知随机变量 的联合概率密度函数为