高等数学---映射和函数.ppt

三、函数 四、小结 补例3 判别 的奇偶性。 分析 补例4 试证：两偶函数之和、之积均为偶函数。 分析 设?(x), g(x)为两偶函数,即?(-x)= ?(x),g(-x)= g(x). 记h(x)= ?(x)+g(x), 则 h(-x)= ?(-x)+g(-x)= ?(x)+g(x) =h(x), 故两偶函数之和为偶函数。 映射与函数 (4)函数的周期性 通常说周期函数的周期是指其最小正周期; 设函数 f (x) 的定义域为D，若存在一个正数 l ， 定义　 恒成立，则称 f (x) 为周期函数，l 称为f (x) 的周期． x y o x f (x) x+l f (x+l) 说明　 并非每个周期函数都有最小正周期．如狄利克雷 (Dirichlet)函数。 映射与函数 D W D W ３.反函数与复合函数 (1)反函数 定义　 设函数 f :D→f(D)是单射，则称其逆映射 为函数 f 的反函数． 映射与函数 说明　 反函数的习惯表示法 若直接函数 y=f (x)，x∈D， 直接函数与反函数的单调性 具有一致性． 直接函数与反函数的图形特点 y=x 关于直线y=x对称． 映射与函数 (２)复合函数 定义　 设函数 y = f (u)， 函数 u = g(x)， 则称函数 为由函数u=g(x)和函数 y = f (u)构成的复合函数． 说明 (1)不是任意两个函数都可复合成一个复合函数的，即两个函数的复合是有条件的； (2)函数复合可以推广到多个函数． 问题：y=arcsinu 和u=2+x2和能否复合？ 映射与函数 补例5 设f(x)的定义域是(0,1)，试求复合函数f(lnx)的定义域。 分析 y=?(lnx)由y=?(u)和u=lnx复合而成， 0lnx1，解出1xe．故f(lnx)的定义域为(1, e)． f(u)与f(x)的定义域一样的，即0u1，所以， 补例6 设 映射与函数 ４.函数的运算 设函数 f (x)，g(x)的定义域依次为D1,D2 ,且 则可定义 f (x)和 g(x)的下列运算： 例11 设函数 f (x)的定义域为 (-l , l)，证明必存在 (-l , l) 上的偶函数 g(x) 及奇函数 h(x)，使得 f (x)= g(x) + h(x). 映射与函数 ５.初等函数 (1)基本初等函数 ① 幂函数 幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数统称为基本初等函数. 映射与函数 ② 指数函数 映射与函数 ③ 对数函数 映射与函数 ④ 三角函数 正弦函数 映射与函数 余弦函数 映射与函数 正切函数 映射与函数 余切函数 映射与函数 ⑤ 反三角函数 映射与函数 映射与函数 映射与函数 映射与函数 中值定理与导数的应用 基本概念 函数概念 小结 作业 思考题 第一节 映射与函数 第一章 函数与极限 函数的特性 反函数 一、集合 (1)定义 组成这个集合的事物称为该集合的元素. (3)符号 (4)表示 列举法 描述法 (5)常用集合 具有某种特定性质的事物的总体称为集合. 1.集合概念 (2)有限集和无限集 映射与函数 不含任何元素的集合称为空集, 规定空集为任何集合的子集. (6)关系 子集 ( 包含 ), 相等, 2.集合的运算 并, 交, (1)基本运算 B A I B A I A∩B={x|x ? A 且 x ?B} A∪B={x|x ? A 或 x ?B} 映射与函数 补, 直积或笛卡儿乘积: 差, A B I A\B={x|x?A且x?B} A\B I A B 映射与函数 (2)运算法则 交换律: 结合律: 分配律: 对偶律: 映射与函数 3.区间和邻域 开区间 (a, b): (1)有限区间 闭区间 [a, b]: 半开区间 [a, b): 半开区间 (a, b]: 映射与函数 (2)无限区间 映射与函数 (3)邻域 点a的邻域U(a): 以点a为中心的任何开区间. 点a的δ邻域U(a, δ): U(a, δ)的实质: U(a, δ)=(a –δ, a +δ ). 点a的左δ 邻域: (a –δ, a ). 点a的右δ 邻域: (a , a+ δ). 问题：如何用邻域表示(1,2)呢？ 映射与函数 二、映射 引例(1)一个班里有6名男同学,记为X={1, 2,…, 6}，入学时分配宿舍，共有4个房间可供分配，记为Y={301, 302,303,304}．我们确定分配方案如下： {1}?301，{2, 3}?3