常微分方程奇解与包络.ppt

§2.4singularlysolution§2.4singularlysolution§2.4奇解/Singularlysolution/2.4奇解包络和奇解克莱罗方程（ClairantEquation）本节要求：1了解奇解的意义；2掌握求奇解的方法。主要内容利用通解和特解可以构造解：从图形可以看到，有无数条积分曲线过初始点。解：容易看到y=0是解，并且满足给定的初始条件例1得通解由01x02y定义2.3如果方程存在某一解，在它所对应的积分曲线上每点处，解的唯一性都被破坏，则称此解为微分方程的奇解。奇解对应的积分曲线称为奇积分曲线曲线族的包络：是指这样的曲线，它本身并不包含在曲线族中，但过这条曲线上的每一点，有曲线族中的一条曲线与其在此点相切。01奇解：在有些微分方程中，存在一条特殊的积分曲线，它并不属于这个方程的积分曲线族，但在这条特殊的积分曲线上的每一点处，都有积分曲线族中的一条曲线与其在此点相切。这条特殊的积分曲线所对应的解称为方程的奇解。02注：奇解上每一点都有方程的另一解存在。03一包络和奇解的定义例单参数曲线族R是常数，c是参数。xyo显然，是曲线族的包络。一般的曲线族并不一定有包络，如同心圆族，平行线族等都是没有包络的。例如:单参数曲线族:(其中c为参数)表示一族同心圆.如图从图形可见,此曲线族没有包络.注:并不是每个曲线族都有包络.二、不存在奇解的判别法假设方程(1.9)的右端函数在区域上有定义，如果在D上连续且在D上有界(或连续)，那么由本章定理2.2，方程的任一解是唯一的，从而在D内一定不存在奇解。有定义的区域D内成立，那么奇解只能存在于不满足解的存在唯一性定理条件的区域上.进一步如果再能表明在这样的区域上不存在方程的解，那么我们也可以断定该方程无奇解。如果存在唯一性定理条件不是在整个方程(1.9)的积分曲线族(C)的包络线L是(1.9)的奇积分曲线。证明：应用定理2.1积分曲线与线素场的关系的充要条件定理2.6三求奇解（包络线）的方法C-判别曲线法P-判别曲线法设一阶方程的通积分为1C-判别曲线法结论：通积分作为曲线族的包络线（奇解）包含在下列方程组消去C而得到的曲线中。01设由02能确定出曲线为03则04对参数C求导数05从而得到恒等式当至少有一个不为零时有或这表明曲线L在其上每一点(x(C),y(C))处均与曲线族中对应于C的曲线相切。注意：C-判别曲线中除了包络外，还有其他曲线，尚需检验。例1求直线族的包络，这里是参数，p是常数。解：对参数求导数联立相加，得，经检验，其是所求包络线。xyop例2求直线族的包络，这里c是参数。解：对参数c求导数联立得从得到从得到因此，C-判别曲线中包括了两条曲线，易检验，是所求包络线。xyo01p-判别曲线02结论：方程的奇解包含在下列方程组03消去p而得到的曲线中。04注意：p-判别曲线中除了包络外，还有其他曲线，尚需检验。例3求方程的奇解。解：从消去p，得到p-判别曲线经检验，它们是方程的奇解。因为易求得原方程的通解为而是方程的解，且正好是通解的包络。的奇解。注意：以上两种方法，只提供求奇解的途径，所得p-判别曲线和C-判别曲线是不是奇解，必需进行检验。经检验，不是方程的解，故此方程没有奇解。从解：消去p，得到p-判别曲线例4求方程形式其中是p的连续函数。解法通解奇解3克莱罗方程结果:是一直线族,或的通解此直线族的包络Clairaut方程是Clairaut方程的奇积分曲线,所对应的解是奇解.123456解：这是克莱罗方程，因而其通解为消去c，得到奇解从例5求解方程§2.4singularlysolution§2.4singul