1讲 复数、复变函数及其导数.ppt

《数学物理方法》绪论 （2）量子物理学（Plank, Heisenberg, Dirac, Einstein为代表） 光电效应：只有光照大于临界频率时，光路才导通。光路是否导通与光强无关。 2、物理学的发展方向：深度和广度 （2）广度（学科交叉） 3、物理学推动的三次技术革命 二、数学与物理（相辅相成） Fermi把物理研究总结为两类： 把问题简化为物理模型 问题有严谨的数学过程 三、如何学好《数学物理方法》 与实变函数联系 把物理规律翻译成数学公式 通过习题练习，掌握数、理互译过程 广泛阅读，掌握多种技能（如：计算软件Matlab、物理实验等）提高综合能力 参考书：（不同体系） 郭敦仁编《数学物理方法》，高教社 吴崇试编《数学物理方法》，北大出版社 潘忠诚编《数学物理方法》，南开大学 胡嗣柱编《数学物理方法》，高教社 邵惠民编《数学物理方法》，科学出版社 姚端正编《数学物理方法》，科学出版社 王竹溪编《特殊函数》，北大出版社 季孝达编《数学物理方程》，科学出版社 第一章 复变函数 §1.1复数及其运算 3、共轭复数z*（或记为 ） 定义：z*=x-iy，与z关于X轴对称。 二、无限远点 三、复数运算 四、复运算结果的解释 2、根式结果的多值性 五、共轭运算 证明 共同证明 举例： 例1.2： 例2.几何意义 1、解释|z-i|≤2代表的几何意义。 例2.2：解释|z-i|=|z-2|代表的几何意义。 例3：复数化简(下面a, b为实数) 1、化简cos(a+ib) §1.2 复变函数 一、定义：w=f(z), z∈E。 三、基本复变函数 指数：ez= ex+iy =ex (cosy+isiny)= ez+i2p(多对一） 对数：lnz=ln(|z| eiArgz )= ln|z|+ iArgz（一对多） 三角：sinz=(eiz-e-iz)/(2i), cosz=(eiz+e-iz)/2 双曲： sinhz=(ez-e-z)/2, coshz=(ez+e-z)/2 四、初等函数例题 五、复变函数与实变函数的联系（补充实变函数性质） 复变函数可归结为一对实变函数 记为f (z) = u(x, y)+iv(x, y)； 因此实变函数的许多结论可移植到复变函数。 极限：lim z→z0 f (z) =A 定义：当0|z-z0|d时，总有|f (z)-A|e。 点连续： f (z) 在z0邻域内有定义，且存在极限lim z→z0 f (z) = f (z0)。 4. 区域连续：当f (z) 在区域B中的每一点都连续。 §1.3 复数导数 二、C-R方程？ 1、证明：因f(z)可导，则Δz沿任何方向趋于0时极限 都相等，即当 Δz=iΔy →0 时(沿y轴方向)，其极限： f ‘(z)/Δz=iΔy =?f /i?y =lim Δy→0 {[u(x,y+Δy)+iv(x,y+Δy)]- [u(x,y)+iv(x,y )]}/iΔy = ?v/?y-i?u/?y。 而，当 Δz=Δx →0 时(沿x轴方向)，极限： f ‘(z)/Δz=Δx =?f /?x = ?u/?x+i?v/?x。 重要说明： C-R条件是可导的必要但不充分条件。 三、可导的充要条件 在区域B上函数的实部u和虚部v存在连续可导的偏导 数，并满足C-R条件。 四、复变函数的求导规则 与实变函数的求导规则完全相同： 五、其它坐标系下的C-R条件 沿两个方向的极限应相等，即得 此二式便称为Cauchy-Riemann方程 （也叫C-R条件）。 例如：函数 在z=0处： 同样， 令 Δf /Δz在一、三象限极限为： 而在二、四象限为 二者不等，即不可导。 即z=0处C-R条件成立。 在一、三象限 在二、四象限 证明：因实部u和虚部v连续可导，故存在全微分 故导数存在： 至于其必要性，将在§2.4节中给出。 ？？ dz * 物理学进展及其重要性 数学与物理的关系 如何学好《数学物理方法》 参考书目 主要内容 一、物理学进展及其重要性 (1)经典物理学 经典力学(Newton) 经典热力学(Carnot, Clausius) 经典电磁学(Coulomb, Maxwell) 等等 其中一些主观臆断性的结论是非科学的，如： Newton认为光仅是一些传播的粒子。 1、发展史（包括：经典与量子） 图1：黑体辐射能量密度曲线 背景：二十世纪初出现的几朵乌云，比如黑 体辐射、光电效应等。 光照能