上海市浦东新区华东师范大学附属周浦中学2024-2025学年高三下学期3月月考 数学试题（含解析）.docx
周浦中学2024学年高三3月月考
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1-6题每题4分，7~12题每题5分）
1.不等式：的解集为_______
【答案】
【解析】
【分析】将分式不等式化为求解集.
【详解】由，则，可得，
所以不等式的解集为.
故答案：
2.已知复数（其中为虚数单位）)，则______．
【答案】
【解析】
【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的公式计算得答案．
【详解】，因此，.
故答案为：.
3计算_____________．
【答案】2
【解析】
【分析】根据无穷等比数列的求和公式直接即可求出答案.
【详解】.
故答案为：2.
4.一组数据15，18，23，24，28，36，39，42，47，53，60，78的第75百分位数是______.
【答案】50
【解析】
【分析】根据给定条件，利用第75百分位数的定义求解即得.
【详解】依题意，，所以所求的第75百分位数是.
故答案为：50
5.的展开式中常数项为______.（用数字作答）
【答案】84
【解析】
【分析】根据二项展开式的通项公式求解.
【详解】根据通项公式,
令,解得,所以,
故答案为:84.
6.双曲线的两条渐近线的夹角为______．
【答案】
【解析】
【分析】先求出渐近线方程，设出直线与轴夹角为，得到，利用二倍角公式得到，从而求出答案.
【详解】的渐近线方程为：，
故直线与轴夹角为，则，
则，
所以
故两条渐近线的夹角为.
故答案为：
7.某大学餐饮中心为了了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：
喜欢甜品（人）
不喜欢甜品（人）
总计（人）
南方学生
60
20
80
北方学生
10
10
20
总计
70
30
100
根据表中数据，__________（选填“有”或“没有”）95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”．
【答案】有
【解析】
【分析】由卡方公式计算求解．
【详解】，
对照临界值知，有的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”．
故答案为：有
8.在△ABC中，角A、B、C的对边分别记为a、b、c，若，则________．
【答案】
【解析】
【分析】由正弦定理得到，求出正弦，利用二倍角公式求出答案.
【详解】，由正弦定理得，
因为，所以，故，
由于，故，
则.
故答案为：
9.一个盒子中有4个白球,个红球,从中不放回地每次任取1个,连取2次,已知第二次取到红球的条件下,第一次也取到红球的概率为,则________.
【答案】6
【解析】
【分析】根据条件概率的公式计算出结果即可.
【详解】解:由题知,记“第一次取到红球”为事件A,“第二次取到红球”为事件B,
,
,
,
或(舍).
故答案为:6
10.《数书九章》天池测雨：今州郡都有天池盆，以测雨水．但知以盆中之水为得雨之数．不知器形不同，则受雨多少亦异，未可以所测，便为平地得雨之数．假令盆口径二尺八寸，底径一尺二寸，深一尺八寸，接雨水深九寸，则平地降雨量为_________寸．注：平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；一尺等于十寸
【答案】3
【解析】
【分析】由题意得到盆中水面的半径，利用圆台的体积公式求出水的体积，用水的体积除以盆的上底面面积即可得到答案.
【详解】如图，由题意可知，天池盆上底面半径为14寸，下底面半径为6寸，高为18寸.
因为雨水深9寸，所以水面半径为寸.
则盆中水的体积为（立方寸），
所以则平地降雨量等于（寸）,
故答案为：
11.在平面上，已知定点，动点．当在区间上变化时，动线段AP所形成图形的面积为_______
【答案】
【解析】
【分析】根据题意确定的轨迹，数形结合及扇形的面积公式求动线段AP所形成图形的面积.
【详解】由题意，动点的轨迹是以原点为圆心，半径为1的圆弧，如下图示，
其中，而，易知，
所以动线段AP所形成图形的面积.
故答案为：.
12.已知为单位向量，向量满足，则的取值范围是__.
【答案】
【解析】
【分析】建立平面直角坐标系，设，确定点A，B的轨迹，从而设，求出的表达式结合三角恒等变换化简，再结合二次函数性质即可求得答案.
【详解】如图，建立平面直角坐标系，令,
设则由可得，
即点A轨迹为以为圆心，半径为2的圆，
点B轨迹为以为圆心，半径为3的圆，
则设，
则
，（为辅助角）
，
令，则，
则，
又，
而，
故，故的取值范围是，
故答案为：
【点睛】本题是关于向量和三角函数的综合性题目，综合性较强，解答时要注意建立坐标系，利用向量的坐标运算结合三角函数的恒等变换进行解答，难点在于化简的表达式时，计算较为复杂，要注意计算的准确性.
二、选择题（满分18分，其中第13、1