第五章受压杆件的扭转屈曲与弯扭屈曲1要点解析.ppt

* 第5章受压杆件的扭转屈曲与弯扭屈曲 5.2 轴心受压杆件的扭转屈曲与弯扭屈曲 5.2.1 扭转屈曲 图5.1 根据平衡关系，作用在以该倾斜纤维为轴线的微元体上的轴力σdA在杆的横截面平面内有分力dFQ，且 作用在截面上得扭矩： r20截面对弯心的极回转半径 扭转屈曲临界力为： 5.2.2 弯扭屈曲 对于截面单轴对称的单角钢、单槽钢或T形钢轴心压杆，形心和弯心不相重合。如果杆件在轴心力F作用下不能保持直线平衡而绕对称轴y弯曲时，由于剪力不通过弯心，不可避免的要出现扭转。 杆件的扭转平衡微分方程为： 其中 弯曲平衡的微分方程可以写为： 两端铰接的杆件，杆端边界条件： 当z=0时： 当z=L时： 解得： 令 得： 临界荷载 式中： 5.2.3计算弯扭屈曲的换算长细比的方法 我国冷弯薄壁型钢结构技术规范设x轴为对称轴，如图所示： 图5.4 根据 得： 令 由于 上式可以写为： 解得弯扭屈曲临界应力： 5.3 偏心压杆的弯扭屈曲 ★偏心压杆的弯扭屈曲是指其在弯矩平面外的失稳。 偏心受压杆件的弯扭屈曲平衡微分方程为： （5.32） （5.33） 将式（5.32）对z微分二次，式（5.33）对z微分一次，得到： 得到偏心压杆的临界荷载： 在钢结构设计中常常用相关公式来控制偏心压杆的弯扭失稳。 由梁整体失稳的临界弯矩为： 利用这个关系式，并将Fe用M代替，得到： 当Fω=Fy时，F/Fy与M/Mcr之间的关系是直线关系 第二节 轴心受压时开口薄壁杆件的弯扭屈曲 临界荷载 中性平衡方程 剪心C沿x和y轴方向平移u和v，截面绕剪力中心扭转?角，点B(x,y)沿x和y轴方向位移为： 假定屈曲时杆件处于弹性工作阶段和小变形状态，并假定截面的周边形状保持不变，无初始缺陷。 5.4 用能量法计算开口薄壁轴心压杆的屈曲荷载 一 中性平衡方程的建立 (一)通过势能驻值原理来推导 变形后微段长度： 由于u`,v`是微小量，上式简化为： B点纵向纤维变形后的总长度为： B点纵向纤维变形后两端缩短为： 式中 应力?＝F/A在小条上的外力功为： 对整根杆，压力F的外力功为： 并考虑了 因此，总势能为 即： 二 临界荷载的确定 (一)假设位移函数，将微分方程组化为求解代数方程组 如杆段简支时，边界条件为 假设位移函数为： A、B和C—广义坐标或参变数 n＝1,2,3, …—弹性曲线的半波数 将它代入总势能表达式，并令： 得到线性齐次代数方程组为： 特征方程为： 或 解此方程式所得F的最小根，即为所求的临界力Fcr。 三 关于临界荷载的讨论－以两端简支的轴压杆为例 (一)当杆件截面为双轴对称或点对称时 截面形心与剪力中心重合，x0＝y0＝0： 方程式的三个根为 得到最小临界力，将此三根代入(5.56)式，可得 当F＝Fx和F＝Fy时，杆件为弯曲屈曲，当F＝F?时，杆件为扭转屈曲。 对于双轴对称或点对称截面的轴压杆，只能发生绕其主轴弯曲屈曲或绕剪力中心的扭转屈曲，不会发生弯扭屈曲。 (二)当杆件截面为单轴对称(设y轴为对称轴)时，则x0＝0， 弯曲屈曲 弯扭屈曲 (三)当杆件截面为不对称时，则必为弯扭屈曲，临界力为(5.58)式的三个根中最小值，并取n＝1。 取n＝1，得到最小临界力。 5.5 用能量法计算开口薄壁偏心压杆的屈曲荷载 除了上节所述的基本假定外，需再假设杆件截面具有足够的抗弯刚度，由偏心弯矩产生的弯曲变形很小，可以略去不计。 一 中性平衡方程的建立 (一)根据势能驻值原理来导出 中性平衡状态时，截面上任意点B(x,y)的位移、应变能U和外力所作的功W的表达式与上一节表达式相同。将(5.66)代入(5.48)式，对整个截面积分，并注意O为形心，x和y轴为形心主轴，可得： 式中 ?x和?y为不对称截面的几何特性。 体系总势能Ep的表达式为： *