6-圆锥曲线中的轨迹方程(带标准答案).doc

联邦理科 高二寒假 PAGE PAGE 9 第六讲 求轨迹方程的六种常用技法 1．直接法 根据已知条件及一些基本公式如两点间距离公式，点到直线的距离公式，直线的斜率公式等，直接列出动点满足的等量关系式，从而求得轨迹方程。 例1．已知线段，直线相交于，且它们的斜率之积是，求点 的轨迹方程。 练习： 1．平面内动点到点的距离与到直线的距离之比为2，则点的轨迹方程是 。 2．设动直线垂直于轴，且与椭圆交于、两点，是上满足的点，求点的轨迹方程。 3. 到两互相垂直的异面直线的距离相等的点,在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是 （　　） A．直线 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线 2．定义法 通过图形的几何性质判断动点的轨迹是何种图形，再求其轨迹方程，这种方法叫做定义法，运用定义法，求其轨迹，一要熟练掌握常用轨迹的定义，如线段的垂直平分线，圆、椭圆、双曲线、抛物线等，二是熟练掌握平面几何的一些性质定理。 例2．若为的两顶点，和两边上的中线长之和是，则的重心轨迹方程是_______________。 练习： 4．方程表示的曲线是 （　　） A．椭圆 B．双曲线 C．线段 D．抛物线 3．点差法 圆锥曲线中与弦的中点有关的问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点的坐标代入圆锥曲线方程，然而相减，利用平方差公式可得，，，等关系式，由于弦的中点的坐标满足， 且直线的斜率为，由此可求得弦中点的轨迹方程。 例3．椭圆中,过的弦恰被点平分,则该弦所在直线方程为_________________。 练习： 5．已知以为圆心的圆与椭圆交于、两点，求弦的中点的轨迹方程。 6．已知双曲线，过点能否作一条直线与双曲线交于两点，使 为线段的中点？ 4．转移法 转移法求曲线方程时一般有两个动点，一个是主动的，另一个是次动的。 当题目中的条件同时具有以下特征时，一般可以用转移法求其轨迹方程： ①某个动点在已知方程的曲线上移动； ②另一个动点随的变化而变化； ③在变化过程中和满足一定的规律。 例4． 已知是以为焦点的双曲线上的动点，求的重心 的轨迹方程。 练习： 7．已知，在平面上动点满足，点是点关于直线的对称点，求动点的轨迹方程。 5．参数法 求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一，求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，通过“坐标互化”将其转化为寻求变量间的关系。在确定了轨迹方程之后，有时题目会就方程中的参数进行讨论；参数取值的变化使方程表示不同的曲线；参数取值的不同使其与其他曲线的位置关系不同；参数取值的变化引起另外某些变量的取值范围的变化等等。 例6．过点作直线交双曲线于、两点，已知。 （1）求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线； （2）是否存在这样的直线，使矩形？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由。 练习： 8．设椭圆方程为,过点的直线交椭圆于点、,是坐标原点,点满足,点的坐标为,当绕点旋转时,求: (1)动点的轨迹方程； (2)的最小值与最大值。 9．设点和为抛物线上原点以外的两个动点，且，过作于，求点的轨迹方程。 6．交轨法 若动点是两曲线的交点，可以通过这两曲线的方程直接求出交点的方程，也可以解方程组先求出交点的参数方程，再化为普通方程。 例7．已知是椭圆中垂直于长轴的动弦，、是椭圆长轴的两个端点，求直线和的交点的轨迹方程。 练习： 10．两条直线和的交点的轨迹方程是___ ______。 总结归纳 1．要注意有的轨迹问题包含一定隐含条件，也就是曲线上点的坐标的取值范围．由曲线和方程的概念可知，在求曲线方程时一定要注意它的“完备性”和“纯粹性”，即轨迹若是曲线的一部分，应对方程注明的取值范围，或同时注明的取值范围。 2．“轨迹”与“轨迹方程”既有区别又有联系，求“轨迹”时首先要求出“轨迹方程”，然后再说明方程的轨迹图形，最后“补漏”和“去掉增多”的点，若轨迹有不同的情况，应分别讨论，以保证它的完整性。 练习参考答案 1． 2．解：设点的坐标为，则由方程，得 由于直线与椭圆交于两点、，故 即、两点的坐标分别为 ∴ 由题知即 ∴即所以点的轨迹方程为 3．D 【解析】在长方体中建立如图所示的空间直角坐标系，易知直线与是异面垂直的两条直线，过直线与平行的平面是面，设在平面内动点满足到直线与的距离相等，作于，于，于，连结，易知平面，则有，(其中是异面直线与间的距离)，即有，因此动点的轨迹是双曲线，选D. 4．A 5．解 设， ．P．