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2.2 直线、平面平行的判定及性质 2.2.1 直线与平面平行的判定 知识梳理 直线与平面平行的判定定理 （1）直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线与____ ①_________平行，那么这条直线与这个平面平行。 （2）图形表示 （3）符号表示：如上图，若____ ______②__则a∥α. 答案：①这个平面内的一条直线 ②aα，bα，a∥b， 问题研讨 1．请同学们共同探讨：家庭中安装方形镜子时，为了使镜子的上边框与天花板平行，应怎样做？安装教室里的日光灯呢？ 答案：使镜子的上边框或日光灯与天花板和墙面的交线平行。 2．“直线与平面平行，则平行于内所有直线”，这种说法正确吗？ 答案：不正确。还有可能是异面直线。 跨越障碍 1.线面平行定理（对应例1） 线面平行的定理共三个条件：aα，bα，a∥b，这三个条件缺一不可，尤其是aα这个条件，很容易忽视，如果漏掉了这个条件，则a与α可能平行，也可能a在α内； 2．直线与平面平行的判定方法（对应例2、例3） （1）利用定义：证明直线与平面没有公共点，直接证明往往比较困难，一般是结合反证法来证明。此时“平行”的否定应是“在面内”或“相交”两种，故只有排除“直线在平面内”和“直线与平面相交于一点”这两种位置关系后才能够得到“直线与平面平行”的结论，在这一点是易出现错误，要引起重视。 （2）利用直线与平面平行的判定定理 使用定理时，要注意所找到的两条直线，一条应在平面外，一条应在平面内，否则，判定定理不成立，判定定理实质为将线线平行转化为线面平行。 3．直线与平面平行判定定理的证明 已知：aα，bα，a∥b，如图. 求证：a∥α. 证明：反证法.假设直线a与平面α不平行， ∵aα，∴a∩α=A， 下面只需证明a∩α=A不可能， ∵a∥b，∴a、b可确定一个平面β， 又a∩α=A，∴A∈a，∴A∈β， 又bα，A∈α， ∴平面α与平面β中含有相同的元素直线b，以及不在直线b上的点A， ∴平面α、β重合，∴aα，这与aα，aα矛盾， 所以a∩α=A不可能，故a∥α. 典例导练 【例1】能保证直线a与平面α平行的条件是__________. A．aα，bα，a∥b， B．bα，a∥b， C．bα，c∥α，a∥b，a∥c D．bα，A∈a，B∈a，C∈b，D∈b，且AB c∥CD. 【解析】利用线面平行的判定条件判断. 【解答】A正确，线面平行的判定定理用符号语言表示就是：若aα，bα，a∥b，则a∥α； B错误，若bα，a∥b，则a∥α或aα； C错误，若满足此条件，则a∥α或aα； D错误，若满足此条件，则a∥α或aα. 【方法规律】本题考查线面平行的判定定理的理解，要求学生一定要熟练掌握判定定理的三个条件，少任何一个条件都有可能是错误的.如本例中B、C、D。 【随堂导练1】若直线是异面直线，给出下列四个命题： 过直线有且仅有一个平面与直线平行； P为空间一点，过P总能作一条直线与都相交； P为异面直线外一点，过P与都平行的平面有且仅有一个； 过直线有无数个平面与平行 其中正确的命题有（ ） A.①②③ B.①④ C.①③ D.① 答案：D。①正确，过直线上任意一点，作直线的平行线，则与确定一个平面；该平面与平行。②不正确，过可作与平行的平面，过可作与平行的平面，当空间中的点P在内或内时直线不可作。③不正确。因为过P点分别作的平行线只能作一条（分别称），经过的平面是唯一的，但当这个平面经过或时，这个平面就不满足条件了。④不正确。因为与①矛盾。故本题选D。 【例2】如图，长方体中，是平面上的线段，求证：平面AC。 【解析】欲证平面AC，保要在平面AC内找一条直线与平行，结合长方体性质，联想到构造平行四边形。 【解答】如图，分别在AB、CD上截取AE=，DF=，连结。 ∵长方体各个面为矩形， ∴， ∵，四边形为平行四边形， ∴。 ∵平面AC，平面AC， ∴//平面AC。 【方法规律】判断“线面平行”，一般通过“线线平行”，关键是在平面AC内找到一条直线与平行，这样的直线怎样找呢？一般按两步，即“先找线，后作线”。线要在平面内现有的直线中找，若找不到再在平面内添辅助线，辅助线一般结合特殊点（中点、三等分点等），特殊图形（平行四边形、长方形、菱形），添加多为中线、高线、中位线或特殊图形的边等，引题中的EF就是平行四边形的一条边。 【随堂导练2】已知如图，两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB，且AM=FN. 求证：MN∥平面BCE. 答案：证法一： 如图（1）,作MP∥AB交BC于P，NQ∥AB交BE于Q，∴MP∥ NQ. ∵AM=FN，∴MP=， MC=BN=NQ, ∴MPNQ,则四边形MNQP为平行四边形， ∴ MN