微积分课件-经管类(吴赣昌-中国人民大学)CH1第二节--初等函数.pptx

一. 反函数 设函数 y = f (x), x Df 的值域为y  Rf . 如果由关系 y = f (x) 可确定 x =  (y), y  Rf , 则称其为函数 y = f (x) 的反函数, 而称y = f (x) 为直接函数. y = f (x)的反函数记为 x = f 1(y) , y  Rf . 习惯上, 将y = f (x)的反函数记为y = f 1(x). 函数y = f (x)有反函数存在, 则 x 与 y 之间必定是一一对应的. §1.2 初等函数 将函数 y = f (x) 的反函数记为 y = f 1(x).时，函数y = f (x)与其反函数y = f 1(x).的图形关于第一、三象限的角平分线y = x 对称. 例1 求函数的 反函数 例2 求函数的 反函数 二、基本初等函数 幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数五 种最简单函数称为基本初等函数: 1. 幂函数 y = x (  R为常数). 2. 指数函数 y = ax (a 0, a  1). 3. 对数函数 y =logax (a 0, a  1). 4. 三角函数 y = sinx, y = cosx, y = tanx, y = cotx, y = secx, y = cscx. 5. 反三角函数 y=arcsinx, y=arccosx, y=arctanx, y = arccotx, y=arcsecx, y=arccscx. 双曲函数与反双曲函数 双曲正弦 双曲余弦 双曲正切 双曲余切 双曲正割 双曲余割 类似三角函数的一些性质： (1) 反双曲正弦函数 x  (, ) (2) 反双曲余弦函数 x  [1, ) (3) 反双曲正切函数 三. 复合函数 称y =(f ·g) (x) = f ( g(x)) 为函数y = f (u) 与u = g(x) 复合而成的复合函数. 其中, u 称为中间变量. 复合函数 例5 将下列函数分解成基本初等函数的复合。 四、初等函数 由基本初等函数经过有限次四则运算和复合运算而成的函数, 称为初等函数. 应用：如指数函数、对数函数在储蓄存款增长、放射性物质衰减、地震强度计算等。 指数增长模型： 指数衰减模型： 连续得利模型： 单利模型： 年复利模型： 例7 某人在2008年初欲用1000元投资5年，设年利率为5%，试分别按单利、复得和连续得利计算到5年末该人就得的本利和S。 按单利计算：S=1000（1+0.05×5）=1250（元） 按复利计算：S=1000(1+0.05)5≈1276.28（元） 按连续复利计算：S=1000e5×0.05≈1284.03（元） 例8 物理学中，我们称放射性物质从最初的质量到衰变为自身质量的一半所花的时间为半衰期。试证明半衰期是一个常数，它只依赖放射性物质本身，面不依赖其初始质量。 例9 地震的里氏震级用常用对数来刻画。 其中a是监听站以微米计的地面运动的幅度，T是地震波以秒计的周期，而B是当离震中的距离增大时地震波减弱所允许的一个经验因子。对监听站10000千米处的地震来说，B=6.8.如果记录的垂直地面运动为a=10μm,而周期T=1s，那么震级为 这种强度的地震在其震中附近会造成极大的破坏。