高等数学教学中的一些问题.ppt

高等数学教学中的 一些问题 乐经良 上海交通大学 jly@sjtu.edu.cn 提纲 极限 ? 需要充分的讲解极限的概念 ? 无穷小分析的思想贯串整个教学 微分学 ? 线性近似 ? 求导的链法则 中值定理 ? 对函数的多项式近似 ? 辅助函数的构造 积分 ? 典型例子：由密度求质量，贯串积分教学 ? 讲好微元法 级数 ? 还是无穷小分析 微分方程 ? 联系数学模型 ? 适当定性分析 高等数学 ■ 主要内容为微积分 关于连续变量的数学基础 ? 内容经典、变化不大 ? 苏俄教学体系痕迹深刻 ? 似乎简单，实则“很深” ? 你能讲清楚这个概念或命题吗？ ? 你能让学生听明白这个概念或命题吗？ 语言 几何(或其它背景) 思路 应用 极限－要讲ε－N 吗 ■ 需要比较充分地介绍极限概念 ? 区别于初等数学的概念 函数变化的定量趋势 ? 简洁确切的数学语言 ? 定义的形成反映数学的发展 ■ 概念的介绍 ? 例子 ? 描叙性语言 ? 数学语言表达 ? 几何解释 无穷小 ■ 求极限的一个重要方法 等价无穷小替换 ■ 注意在教学的各部分提及和应用无穷小分析 ? 导数与微分 ? 积分中的微元法 ? 级数的敛散性判别 导数与微分 ■ 微分学的基本思想 局部线性化，略去高阶无穷小 ? 微分（Leibniz） ■ 隐函数的导数或偏导数 多数教材这部分内容值得商榷 ? 学生可能不了解定理说什么，更不了解为什么 ? 利用链法则可以解决求导的问题 ? Thomas 微积分的处理可以借鉴 微分中值定理 ■ 对函数改变量的无穷小分析 ■ L’hospital 法则 ? 在求极限时重要且使用广泛的方法 ? 使用时结合等价无穷小替换极其必要 积分 ■ 定积分的概念 ? 例子 以由密度求质量作为贯串积分教学的例子 ? 分割、求和、求极限 ■ 微元法 求在区间[a, b]上的不均匀分布的量 ■ 积分的技巧 应适当淡化 级数 ■ 收敛级数的一般项 un→0, 是无穷小量，因此正项级数敛散性判别事实上是一种无穷小分析 ? 比值判别法 立刻导出l1.l1敛散性的结论， 而对于l =1,可举例说明无法断定 ? 根值判别法是类似的 ? 比较判别法的极限形式 需要与一个已知敛散性的级数比较，与谁比较？ P 级数 ? 那么p 级数当p =1时是否一个分界线呢？ 是否一般项un比(1/n)高阶的级数就收敛？ 微分方程 ■ 与数学建模有密切联系 ? 其本身的发展与物理等应用邻域相关 ? 至今仍然有众多来自实际的生动模型 ■ 对微分方程的定性分析在教学中欠缺 ? 了解研究对象的发展趋势 ? 在方程无法求解的情况下获知信息 ■ 选择适当的例子 ? 人口增长模型 从Malthus模型到Logistic模型 ? 假画的鉴定问题 ? 核废料的处理 不依赖数值方法能求解吗？ ? 最速降线 历史故事 Johnn Bernoulli 的挑战 ? 行星轨道问题 铅笔尖上的行星 作为数学课程的严密性 ■ 注重概念、思想与方法 ■ 讲清思路 ■ 选择地讲解证明 ? 典型 ? 有用 ? 能听懂 ■ 关于微元法 某个量分布在区间[a,b]上，如果有 问题是：我们怎样得到 f (x) ? ? 分析在小区间[ x, x+dx ]分布的部分量? F的线性主部 来得到 dF =f(x)dx ? ? F与dF的差是高阶无穷小o (?x) ■ 例子 ? 曲边梯形面积 在小区间 [x, x+dx]上视为矩形 分析这是否 dA 看一看误差是多少? O x y a b x (只要f ‘ 有界) 考虑[θ,θ+dθ]上的面积 视为扇形 ? 极坐标下曲边扇形面积 O (只要r‘ 有界) 能否不作这样的无穷小分析？ ? 已知截面积的几何体体积 O x a b x