高等数学中梁的弯曲问题教学课件.ppt

*************************************8.3不同截面形状的强度计算截面形状截面模量表达式特点矩形W=bh2/6结构简单，计算方便圆形W=πd3/32对称性好，适用于轴类构件工字形W≈Af·h/2（近似）材料利用率高，弯曲效率高槽形查表或计算复合截面开口截面，连接方便箱形W=(BH3-bh3)/6H承载能力大，抗扭性能好不同截面形状的梁具有不同的弯曲强度特性，这些特性可以通过截面模量来量化比较。矩形截面的计算最为简单，其截面模量W=bh2/6，其中b是宽度，h是高度。圆形截面的模量为W=πd3/32，其中d是直径。这些基本形状在工程中广泛应用，但材料利用效率不高。为了提高材料利用效率，工程中常采用更复杂的截面形状，如工字形、槽形和箱形等。这些截面将材料尽可能布置在远离中性轴的位置，大大提高了截面模量。例如，工字梁的截面模量可以达到同等面积矩形截面的2倍以上。在实际设计中，往往通过查表或使用专业软件来获取这些复杂截面的准确模量值。9.梁的弯曲刚度计算材料属性弹性模量E表征材料刚度几何特性截面惯性矩I表征几何刚度弯曲刚度EI是综合刚度指标变形控制基于刚度的挠度计算梁的弯曲刚度是衡量其抵抗变形能力的重要指标，与强度计算关注不破坏不同，刚度计算关注不过度变形。弯曲刚度通常用EI表示，其中E是材料的弹性模量，I是截面对中性轴的惯性矩。EI越大，在相同载荷下梁的变形越小，即刚度越高。在工程设计中，结构不仅需要满足强度要求，还需满足刚度要求。过大的变形会影响结构的正常使用功能，如建筑楼板过度挠曲可能导致墙体开裂、机械支架变形过大可能影响精度等。因此，梁的弯曲刚度计算是设计过程中不可或缺的环节，要根据使用要求确定合理的刚度指标。9.1弯曲刚度的定义数学定义弯曲刚度EI是梁对弯曲变形的抵抗能力，等于材料弹性模量E与截面惯性矩I的乘积物理意义表示产生单位曲率需要的弯矩大小：M=EI·κ=EI·(d2w/dx2)单位力·长度2，如N·m2或kN·m2影响因素材料性质(E)、截面形状和尺寸(I)、温度、长期载荷效应等弯曲刚度是描述梁抵抗弯曲变形能力的综合指标，它同时反映了材料特性和几何特性的影响。从物理角度看，EI表示梁产生单位曲率需要的弯矩大小，EI越大，梁越难弯曲。在微分方程中，弯曲刚度直接影响梁的挠度大小，是联系载荷和变形的关键参数。弯曲刚度的两个组成部分具有不同的物理含义：E反映材料的刚性，不同材料的E值可相差数十倍；I反映截面形状对抗弯能力的贡献，同样面积的不同截面，I值可能相差数倍。在实际工程中，可以通过选择高弹性模量的材料或优化截面形状来提高弯曲刚度，从而减小变形。9.2截面惯性矩的概念工字形箱形槽形矩形圆形实心方形截面惯性矩是描述截面对弯曲抵抗能力的几何参数，它反映了材料相对于弯曲轴的分布情况。数学上，截面惯性矩I定义为截面上每个微元面积dA与到中性轴距离y的平方乘积的积分：I=∫y2dA。单位为长度的四次方，如mm?或m?。截面惯性矩的物理意义在于，它表示材料分布对抗弯能力的贡献。根据积分定义可以看出，相同的材料量分布在距中性轴越远的位置，惯性矩越大，抗弯能力越强。这就解释了为什么工字梁比实心矩形梁更高效地抵抗弯曲——它将大部分材料集中在距离中性轴最远的翼缘部分，大大提高了截面惯性矩。9.3不同截面形状的刚度计算矩形截面惯性矩I=bh3/12矩形是最基本的截面形式，计算简单但材料利用率不高工字形截面I≈(bf·tf·h2)/2材料布置在远离中性轴处，惯性矩大，抗弯效率高圆管截面I=π(D?-d?)/64轻量化设计，具有良好的抗弯和抗扭特性不同截面形状的梁具有不同的弯曲刚度特性，选择合适的截面形状是优化结构设计的重要途径。矩形截面的惯性矩I=bh3/12，圆形截面的惯性矩I=πd?/64，这些基本形状的计算公式简单明确，但材料利用效率相对较低。工程实践中广泛采用的工字形、槽形和箱形等型钢截面，通过将材料布置在远离中性轴的位置，大大提高了惯性矩，从而提高了弯曲刚度。例如，同样重量的工字梁比实心矩形梁的弯曲刚度可提高3-5倍。对于复杂截面，可以利用平行轴定理或复合截面法计算惯性矩，也可以直接查阅型钢手册获取标准尺寸的数据。10.复杂载荷作用下的梁基本载荷单一弯曲载荷的分析组合载荷多种内力共同作用特殊载荷动态荷载和温度变化实际工程中，梁通常承受多种复杂载荷的共同作用，而不仅仅是简单的单一弯曲。复杂载荷可能包括轴向力与弯曲的组合、