第二章 1 数列和函数极限的概念.ppt

例如, 三、极限存在准则 2. 单调有界数列必有极限 ( 准则2 ). 例2 求 思考及练习 仍然成立. 说明：可以证明以上函数极限运算法则对于 补例1. 设 n 次多项式函数 试证 证: 其中 都是多项式 ,若 试证: 证: 说明: 若 不能直接用商的运算法则 . 补例2. 设有分式函数 例1 求 解: x = 1 时 分母 = 0 , 分子≠0 , 但因 例2 求 例3 求 解: 时, 分子 分子分母同除以 则 分母 原式 为非负常数 ) 一般有如下结果： 数列极限的一般有如下结果： 为非负常数 ) 例4 求 解: 时, 分子 分母 分子分母同除以 则 原式 例5 求 解: 例6求 解 例7已知 求 解 所以 解: 时, 分子 分母 例8 求 分子分母同除以 则 原式 例9 求 解 （课本91页11题9） 例10 求 解 （课本91页11题17） 例11 求 （课本92页11题19） 解 例12 求（课本92页11题20，21） (提示：分子分母同时有理化.) 例13 求 解 （课本92页11题28） 有界 例14 求 （课本92页11题30） 解 例15 例16 （课本93页18题） 解 由已知上式极限为零， 故分子的次数低于分母的次数. 所以， 例17 （课本92页11题23） 解 例18 求 解 （课本92页11题29） 例19 （课本93页17题） 解 例20 （课本91页11题15） 解 * E-mail: jndzcw@163.com Tel: 济南大学数学科学院 主讲教师 张长温 微 积 分 引言 （一）上大学学什么？（清华大学老师） 珍惜时光 三个方面 做人之道, 治学之方, 健身之术 学会向书本、老师、周围学 学会自学 尝试研究性的学习方法： 提出问题、研究问题、解决问题 注重持续性学习： 有计划地安排学习 （二）学数学学什麽？ 数学的基本特征 抽象性 演绎性 广泛性 （研究对象） （论证方法） （应用） 假设 结论 logic 理性 思维 微积分基本内容简介 微积分 微分 极限 积分 — 一元函数极限，二元函数极限 — 一元函数积分，二元函数积分 连续 导数 — 一元函数连续，二元函数连续 — 一元函数导数，二元函数偏导数 级数，微分方程 推荐参考书： 同济大学编《高等数学》（第六版） （上、下）高等教育出版社 几个新概念 第一章 函数 1 集合的笛卡尔乘积 特例: 记 为平面上的全体点集. 定义 设有数集A 与 B . 对任意的 所有 二元有序数组(x, y)所构成的集合, 称为集合A 与 B 的笛 卡尔乘积， 即 2 邻域的概念 数集 邻域， 点x0 的左 ? 邻域 : 点x0 的右 ? 邻域 : 3 函数的有界性 使 称 为D 上的有界 定义 设函数 f (x) 定义在 集合 D 上，如果对于 函数. 否则，称函数 f (x) 在集合 D 上无界. 说明: 还可定义函数 f (x) 在集合 D 上有上界、有下界 若函数 f (x) 在集合 D 上是有界函数， 也称函数 f (x) 在集合 D 上是有界的 例如 函数 sin x, cos x 在其定义域内有界. 函数 y = x 在其定义域内无界. 如果存在一个实数 M，对每一个 都有 则称函数 f (x) 在集合 D 上有上界. 如果存在一个实数 N，对每一个 都有 则称函数 f (x) 在集合 D 上有下界. 如果函数 f (x) 在集合 D 上即有上界又有下界，则 f (x) 在集合 D 上有界. 无界函数的定义 如果对任意的正实数 M，总存在 使得 例如函数 但是， 4 反函数 在函数定义中，要求函数是单值的，即 如果 则在定义域D与值域 f (D)之间就有如下关系： 这是一个由 f (D)到D之间的新的对应关系： 称为函数 的反函数， 记作 由定义可以知道： 反函数 的定义域是函数 f 的 值域 f (D) ； 函数 的值域是函数 f 的定义域 D. 例如函数 由于 严格单调， 有反函数. 再例如函数 严格单调， 有反函数. 习惯上, 记 5 隐函数 因变量 y 是自变量 x 的函数，但 y 不能用x 的一 个数学表达式表示出来. 这样的函数称为隐函数. 隐函数一般由方程 F( x, y )=0 确定. 也就是已知 y 是 x 的函数， 且 y 和 x 的关系满足方程F( x, y )=0. 数学表达