第四章 微扰理论.ppt

代入到简并微扰论方程，得 解得 下面计算零级波函数。 （1）当 即 时 由归一化条件 ，得 相应的零级近似波函数 （2）当 即 时 （3）当 即 时 由归一化条件 ，得 这是二重简并的能级，波函数不能唯一确定。若仍取原来波函数，则 讨论： 在外电场作用下，一级微扰消除了部分简并，原来四度简并的能级分裂成三个能级。原来从 跃迁到 的一条谱线变成了三条谱线。 第四章 总结 一、小结 1.非简并定态微扰理论 2.简并情况下的微扰理论 求解 在 简并子空间中的本征方程，即 能量的一级修正值为 ，一级近似值为 近似波函数 二、例题 1.设一维谐振子的哈密顿算符为 ，再加上微扰 ，系统的哈密顿算符为 试用微扰法求能量近似值。 解： 实际上 2.在 表象中，若哈密顿算符的矩阵形式为 其中，a、b为小的实数，且 。求能量至二级修正，并与精确解作比较。 解： 下面求能量的精确解。 显然，两种方法的结果一致。 3.设哈密顿算符的矩阵形式为 求其精确的本征值；若 ，求其本征值至二级近似。 解： 先求精确解。 再求近似解。 4.一个一维无限深势阱如图所示，在 和 处有两个无限高壁，两个宽为a、高为 的小微扰势垒中心位于 和 处，a是小量（例如 ）。试用一级微扰论计算修正后的基态能量值及 和 的能级差。 解： 一维无限深势阱的本征解为 微扰势 能级修正值为 能量近似值 基态能量近似值 和 的能级差 当 时，有 第四章 微扰理论 实际上，能用薛定谔方程严格求解的问题极为有限，大多数问题无法严格求解，只能求近似解。求近似解的方法很多，例如微扰理论、变分法等。每一种方法都有它的适用范围，其中应用最为广泛的就是微扰理论。 微扰理论的实质是把体系的哈密顿写成两项和的形式 其中 （不显含 ）的解已知或可精确求解，它包括了体系的主要性质； 对体系的影响很小，可作扰动处理。这样，在 的解的基础上用 修正 的解，就得到了复杂体系的 的近似解。 分为两种情况： （1） 不显含 ，即定态问题，它又分为非简并和简并两种情况； （2） 显含 ，可用它的近似解讨论体系状态之间的跃迁问题及光的发射和吸收等问题。 §4-1 非简并定态微扰理论 已知 不显含时间，且 （ 是很小的实参量） 的本征方程 、 已经解出，且 不简并。 设体系的定态薛定谔方程为 由于 和 都与微扰有关，可以把它们看作是表征微扰程度的参数 的函数，将它们展为 的幂级数，即 将展开式代入薛定谔方程中，得 得 逐级近似方程 …………………………… 假定 已经归一化，则 一、一级近似解 考虑 的第 个能量本征值 和相应本征函数 的修正。 把 用 展开 代入到一级等式 中，得 做运算 ，得 当 时，上式变成 所以，能量一级修正值为 当 时，上式变成 因此 求和号上加一撇，表示不包含 项。 所以，波函数一级修正为 总结： 一级近似解为 二、二级近似解 令 代入到二级等式 中，得 做运算 ，得 当 时， ，上式变成 所以，能量二级修正值为 能量的二级近似值为 三、结果讨论 1．微扰论的适用条件 （1）一方面 要足够小（即 ），可把它看成扰动项； （2）另一方面能级间距 要足够大，所有 要足够远离被修正的能级 。 例如：库仑场 故微扰理论只适用于计算较低能级的修正。