第3章 微分中值定理与导数的应用 第五节.ppt

第五节 函数的极值与最大值最小值 二、函数的最大值、最小值问题 练习： * 第三章 一、函数的极值及其求法 定义 函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点. 注：极值是局部性的概念,极大值不一定比极小值大. 定理1(必要条件) 由费马引理可知， 导数等于零的点称为驻点. 对可导函数来讲,极值点必为驻点, 但驻点只是极值点的必要条件,不是充分条件. 另一方面, 不可导点也可能是极值点, x y O x y O 这就是说,极值点要么是驻点,要么是不可导点,两者必居其一. 我们把驻点和孤立的不可导点统称为极值嫌疑点. 下面给出两个充分条件,用来判别这些嫌疑点是否为极值点. 定理2(极值存在的第一充分条件) 一阶导数变号法 例1 解 列表讨论 极大值 极小值 图形如下 例2 解 定理3(极值存在的第二充分条件) 称为“二阶导数非零法” (1)记忆:几何直观； 说明： (2) 此法只适用于驻点,不能用于判断不可导点； 例3 解 图形如下 (1) 确定函数的定义域； (4) 用极值的第一或第二充分条件判定.注意 第二充分条件只能判定驻点的情形. 求极值的步骤: (3) 求定义域内部的极值嫌疑点(即驻点或 一阶导数不存在的点)； 极值是局部性的,而最值是全局性的. 具体求法： 例4 解 计算 比较得 更进一步,若实际问题中有最大(小)值,且有惟一驻点,则不必判断极大还是极小,立即可以断定该驻点即为最大(小)值点. 则若为极小值点必为最小值点，若为极大值点必为最大值点； 说明: a x a-2x 将边长为a的正方形铁皮,四角各截去相同的小正方形,折成一个无盖方盒,问如何截,使方盒的容积最大？为多少？ 设小正方形的边长为x， 则方盒的容积为 例5 解 a-2x 将边长为a的正方形铁皮,四角各截去相同的小正方形,折成一个无盖方盒,问如何截,使方盒的容积最大？为多少？ 求导得 设小正方形的边长为x， 则方盒的容积为 例5 解 将边长为a的正方形铁皮,四角各截去相同的小正方形,折成一个无盖方盒,问如何截,使方盒的容积最大？为多少？ 求导得 设小正方形的边长为x， 则方盒的容积为 解 例5 要做一个容积为V的圆柱形罐头筒，怎样设计才能使所用材料最省？ h r 设底半径为r, 高为h， 总的表面积为 例6 解 即表面积最小. 即高与底面直径相等. 由实际问题,此时表面积最小. *