数学分析第六章第3节.ppt

* 6.2 L.Hospital法则 在第三章中我们已经知道，当分子分母都是无穷小或都是无穷大时，两个函数之比的极限可能存在也可能不存在，即使极限存在也不能用“商的极限等于极限的商”这一运算法则。这种极限称为未定式 本节我们就利用Cauchy中值定理来建立求未定式 极限的L.Hospital法则，利用这一法则，可以直接求 这两种基本未定式的极限，也可间接求出 等其它类型的未定式的极限 定义 例如, 定理 定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则. 证 定义辅助函数 则有 注 ①定理的条件：分子分母都是无穷小；分子分母 都可导，且分母的导数不等于0；导数之比的 极限存在或为∞ ②定理的结论：函数之比的极限等于导数之比的 极限 ③ ④ 仍有类似的结论 如： 定理 关于 型的极限，有下述定理 定理 结论仍成立 例1 解 例2 注 在反复使用法则时，要时刻注意检查是否为 未定式，若不是未定式，不可使用法则。 例3 解 例4 解 例5 证明 证 分两种情况 ① 则连续使用μ次法则，得 ② 则连续使用[μ]次法则，得 本例说明： 但它们趋于+∞的速度有快有慢 由慢到快依次是： 对数函数、幂函数、指数函数 这一点从图上即可看出 o x y 例6 解 直接应用法则比较麻烦，先变形，再用法则 例7 分母→1，分子振荡而没有极限L.Hospital法则“失效” 注 分子分母中出现 不可使用L.Hospital法则 例8 解 注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法——尤其是等价无穷小的代换——结合使用，可以简化运算过程，效果会更好，使用起来也更有效。 关键:通过适当的恒等变形将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型 . 仍可使用L.Hospital法则来求极限 步骤: 即将其中之一个因子下放至分母就可转化为 例9 注意：对数因子不下放，要放在分子上 步骤: 例10 解 步骤: * 证 先设为实数，由(3)对存在对满足不等式的每一个有 由条件(2)，和在区件上满足柯西中值定理的条件，必存在，使得 由(*)有 另一方面， 由(**)，上式的第一个因子是有界量；第二个因子对固定的，有条件(1)当时是无穷小量。因此使得当时有 综合(**)和(***)，对一切满足不等式的，有 这就证明了 类似地可以证明当的情形。 设是不定型极限，如果的极限不存在，是否的极限也一定不存在？举例说明.