第四章 第十七讲 全等三角形.ppt

第十七讲全等三角形

考点梳理考点1全等三角形的性质(1)全等三角形的对应边相等.(2)全等三角形的对应角相等.(3)全等三角形的对应角平分线、对应中线、对应高相等.(4)全等三角形的周长相等、面积相等.

以题导学1.(2024·成都)如图，△ABC≌△CDE，若∠D＝35°，∠ACB＝45°，则∠DCE的度数为______°.100

判定方法内容边边边(SSS)三边对应相等的两个三角形全等边角边(SAS)两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等角角边(AAS)两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等角边角(ASA)两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等直角三角形的判定(HL)斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等考点梳理考点2全等三角形的判定

证明三角形全等的思路：

以题导学 2.(2023·牡丹江)如图，AB∥CD，AD与BC交于点O，请添加一个条件：_____________，使△AOB≌△DOC.(只填一种情况即可)AB＝DC

3.(2022·广州)如图，点D，E在△ABC的边BC上，∠B＝∠C，BD＝CE，求证：△ABD≌△ACE.(6分)证明：∵∠B＝∠C，∴AB＝AC.∴△ABD≌△ACE(SAS).

性质角平分线上的点到角的两边的距离相等判定角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上考点梳理考点3角平分线的性质和判定

以题导学4.(2024·青海)如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OB，PD＝2，则点P到OA的距离是()CA.4B.3C.2D.1

核心全等三角形的性质和判定1.如图1，CA⊥AB，DB⊥AB，AC＝BD，点P，Q分别为线段AB，BD上任意一点.(1)若点P为AB的中点，点Q与点D重合，试说明△ACP与△BDP全等；(3分)(2)如图2，若∠CPQ＝90°，CP＝PQ，求AC，BQ，AB之间的数量关系；(4分)

(3)如图3，将“CA⊥AB，DB⊥AB”改为“∠A＝∠B＝α(α为锐角)”，其他条件不变.若∠CPQ＝α，CP＝PQ，判断(2)中的数量关系是否会改变？并说明理由.(6分)图1图2图3

解：(1)由题意可知AC＝QB.∵AC⊥AB，DB⊥AB，∴∠A＝∠B＝90°.又∵点P为AB的中点，∴AP＝BP.∵AC＝BD，∴△ACP≌△BDP(SAS).

(2)由(1)可知∠A＝∠B＝90°.∵∠ACP＝180°－∠A－∠CPA＝90°－∠CPA，∠BPQ＝180°－∠CPQ－∠CPA＝90°－∠CPA，∴∠ACP＝∠BPQ.又∵CP＝PQ，∴△ACP≌△BPQ(AAS)，∴AC＝BP，AP＝BQ，∴AB＝AP＋BP＝BQ＋AC，即AC，BQ，AB之间的数量关系为AB＝BQ＋AC.

(3)不会改变.理由如下：∵∠ACP＝180°－∠A－∠CPA＝180°－α－∠CPA，∠BPQ＝180°－∠CPQ－∠CPA＝180°－α－∠CPA，∴∠ACP＝∠BPQ.又∵CP＝PQ，∠A＝∠B，∴△ACP≌△BPQ(AAS)，∴AC＝BP，AP＝BQ，∴AB＝AP＋PB＝BQ＋AC，即(2)中的数量关系不会改变.

变式1－1(2024·安徽)在凸五边形ABCDE中，AB＝AE，BC＝DE，点F是CD的中点.下列条件中，不能推出AF与CD一定垂直的是()DA.∠ABC＝∠AEDB.∠BAF＝∠EAFC.∠BCF＝∠EDFD.∠ABD＝∠AEC

变式1－2(2023·辽宁)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为BC的中点，过点C作CE∥AB交AD的延长线于点E，若AC＝4，CE＝5，则CD的长为______.

变式1－3(2024·镇江)如图，∠C＝∠D＝90°，∠CBA＝∠DAB.(1)求证：△ABC≌△BAD；(4分)(2)若∠DAB＝70°，则∠CAB＝______°.(4分)20

核心角平分线的性质和判定 2.如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高. 求证：(1)∠DEF＝∠DFE；(4分) (2)AD垂直平分EF.(4分)

证明：(1)∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，∴∠DEF＝∠DFE.∴Rt△AED≌Rt△AFD(HL)，∴AE＝AF，而DE＝DF，∴AD垂直平分EF.

变式2－1(2024·常州)如图，在纸上画有∠AOB，将两把直尺A按图示摆放，直尺边缘的交点P在∠AOB的平分线上，则() A.d1与d2一定相等 B.d1与d2一定不相等 C.l1与l2一定相等 D.l1与l2一定不相等