复数集 二次方程的根.docx

复数集二次方程的根

在复数集中，二次方程?ax2+bx+c=0（其中?a,b,c?是复数，且?a=0）的根可以通过求根公式来找到。求根公式为：

x=2a?b±b2?4ac??

这里，b2?4ac??是判别式?Δ=b2?4ac?的平方根。在复数集中，即使判别式是负数，我们仍然可以找到一个复数平方根。

具体步骤如下：

计算判别式：

Δ=b2?4ac

找到判别式的平方根：

在复数集中，任何非零复数都有一个平方根。如果?Δ?是正数或零，则平方根是实数或纯虚数（如果为零，则平方根为零）。如果?Δ?是负数，则平方根是复数。

应用求根公式：

使用求根公式?x=2a?b±Δ???来找到二次方程的根。

简化表达式：

如果可能的话，简化得到的根的表达式。

例如，考虑二次方程?z2+(1+i)z+(2?i)=0，其中?a=1,b=1+i,c=2?i。

计算判别式：

Δ=(1+i)2?4(1)(2?i)=1+2i+i2?8+4i=1+2i?1?8+4i=?8+6i

找到判别式的平方根：

我们需要找到??8+6i?的平方根。这可以通过完成平方或使用其他复数方法来完成。为了简化，我们可以使用数值方法或近似值。但在这里，我们直接给出结果（注意，这个结果是基于复数平方根的一般形式计算得出的，并且可能包含多个解，因为复数平方根有两个解）：

?8+6i?=2(65?+3)??+i2(65??3)??（这是其中一个解，另一个解是其共轭复数）

但通常，在求解二次方程时，我们不需要显式地计算判别式的平方根的确切值，而是可以直接将其代入求根公式中，并在最后一步进行数值计算或简化。

应用求根公式（不显式计算平方根）：

z=2(1)?(1+i)±(1+i)2?4(1)(2?i)??

z=2?1?i±?8+6i??

简化表达式（这里不进一步简化，因为涉及复数平方根的显式计算可能很复杂）：

通常，我们会使用数值方法或符号计算软件来找到这些根的近似值或精确值。

在实际应用中，通常使用计算器或符号计算软件（如Mathematica、Maple、SymPy等）来找到复数二次方程的根，因为这些工具可以处理复杂的复数运算和方程求解。