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勾股定理讲义 直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。（即：a2+b2＝c2） 其主要应用： （1）已知直角三角形的两边求第三边（在中，，则，，） （2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边 2：勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。 要点诠释：（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c； （2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2＝a2+b2，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形 （若c2a2+b2，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形；若c2a2+b2，则△ABC为锐角三角形）。 （定理中，，及只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长，，满足，那么以，，为三边的三角形是直角三角形，但是为斜边） 4：勾股数 　①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，，，为正整数时，称，，为一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如；；；等 ③用含字母的代数式表示组勾股数：（为正整数）； （为正整数）（，为正整数） 题型一：直接考查勾股定理 在中，.⑴已知，．求的长 ⑵已知，，求的长 ?1.在Rt△ABC中，a=3，b=4，则c边长为________． 2.在△ABC中，∠C=90°， AB＝5，则++=__ 题型二：应用勾股定理建立方程 ⑴在中，，，，于，＝　　　　 ⑵已知直角三角形的两直角边长之比为，斜边长为，则这个三角形的面积为　　　　 ⑶已知直角三角形的周长为，斜边长为，则这个三角形的面积为　　　　　 1. 已知:如图13,△ABC中,AB=10,BC=9,AC=17. 求BC边上的高. B B A C 如图，,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积 题型三：实际问题中应用勾股定理 如图有两棵树，一棵高，另一棵高，两树相距，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了　　　　　 1.如图，一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定， 两个固定点AB之间的距离是（ ） A． 13 B． 9 C． 18 D． 10 2.假期中，小明和同学们到某海岛上去探宝旅游，按照探宝图，他们登陆后先往东走8千米，又往北走2千米，遇到障碍后又往西走了3千米，再折向北走了6千米处往东一拐，仅走了1千米就找到宝藏，问登陆点A到宝藏埋藏点B的距离是多少千米？ 3.有一根70 cm的木棒，要放在长、宽、高分别是50 cm，40 cm ， 题型四：应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形 已知三角形的三边长为，，，判定是否为 ①，，　 　②，， 三边长为，，满足，，的三角形是什么形状？ _ _ E _ B _ D _ A _ C _ p 题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用 已知中，，，边上的中线，求证： 1．如图，△ABC中，∠B=90°，两直角边AB=7，BC=24，三角形内有一点P到各边的距离相等，则这个距离为（ ） A．1 B．3 C．4 D．5 2.如图所示，有一块直角三角形纸片，两直角边AB=6，BC=8，将三角形ABC折叠,使AB落在斜边AC上,折痕为AD,则BD的长为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 题型六：最短问题 CDGPFEAB 如图是一个边长6厘米的立方体ABCD---EFGH， 一只甲虫在棱EF上且距F点1厘米的P处 C D G P F E A B H H 有一圆柱体高为10cm，底面圆的半径为4cm，AA1、BB1为相对的两条母线。在AA1上有一个蜘蛛Q，QA=4cm；在BB1上有一只苍蝇P，PB1=3cm。蜘蛛沿圆柱体侧面爬到 的路径是 cm.（结果用带π和根号的式子表示） A A A1 B B1 Q P 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 直角三角形一直角边长为12，另两条边长均为自然数，则其周长为( ). （A）30 （B）28 （C）56 （D）不能确定 2. 直角三角形的斜边比一直角边长2 cm，另一直角边长为6 （A）4 cm （B）8 cm （C）10 cm 3. 已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（　　） （A）25 （B）14 （C）7 （D）7或25 4. 等腰