即集合的笛卡尔积运算不满足交换律-Read.PPT

3.4 序偶与笛卡尔积 一、序偶 1. 定义：有两个元素x,y按给定顺序组成的二元组称为一个序偶（有序对）,记作＜x,y＞。其中x是它的第一元素（第一分量）,y是它的第二元素（第二分量）。 序偶主要用来表示两个个体之间的联系。 例如平面直角坐标系中的一个点的坐标就构成一个序偶,我们可用＜x,y＞表示。 2. 序偶的性质： 如果x?y，则＜x,y＞?＜y,x＞； ＜x,y＞=＜a,b＞的充要条件是x=a,y=b。 注： 序偶是有次序的。 例＜1,3＞和＜3,1＞是表示平面上两个不同的点，这与集合不同。 序偶中的两个元素可以相等。 例：x,x代表一个序偶,而在集合中{x,x}与{x}相同 序偶中的两个元素可以来自不同集合。 例：牛,水表示牛要喝水 序偶的概念可以扩充到三元组的情况。 3. n元组 定义：设x1,x2…xn是n个元素，定义 x1,…,xn-1,xn为n元组，简写为x1,…,xn。其中xi称为它的第i元素,i=1,…n。 同样＜x1…xn＞=＜y1…yn＞的充要条件是xi=yi,i=1,…n 注： n元组的第一个分量应是n-1元组 x1，x2，x3=x1，x2,x3≠x1，x2，x3 二、笛卡尔积 1. 定义：设A，B是任意两个集合，用A中元素作第一元素，B中元素作第二元素，构成的序偶，所有这样序偶的全体组成的集合称为集合A，B的笛卡尔积（直积），记作A×B。即： A×B={x,y?x?A,y?B} 例：设集合A={a,b,c},B={0,1},求A×B，B×A， A×A，(A×B)?(B×A) 解：A×B={a,0,a,1,b,0,b,1,c,0,c,1} B×A ={0,a,1,a,0,b,1,b,0,c,1,c} A×A ={a,a,a,b,a,c,b,a,b,b,b,c, c,a,c,b,c,c} (A×B)?(B×A)=? 例：设A={x?1≤x≤2,x∈R} B={y?y≥0,y∈R}求A?B，B?A 解：A?B={x,y?1≤x≤2, y≥0,x,y∈R} B?A={x,y?x≥0,1≤y≤2,x,y∈R} A?B,B?A分别表示平面直角坐标系中的某一个区域。 例：设集合A={1，2}求P(A)?A 解：P（A）={?,{1},{2},{1,2}} P(A)?A={?,1,?,2,{1},1,{1},2,{2},1, {2},2, {1,2},1,{1,2},2} 共8个元素。 2. 多重直积 定义： A1，A2…，An是n个集合，则A1?A2?…?An={x1,…,xn?xi?Ai，i=1,…，n},称为这n个集合的笛卡尔积（多重直积）。 当A1= A2=…= An时，记A?A?……?A=An 例：设A={1，2}，B={a，b}，c={?}求：1)A?B?C，2)(A?B)?C，3)A?(B?C) 解：1) A?B?C={x,y,z?x?A,y?B,z?c} ={1,a,?,1,b,?,2,a,?,2,b,?} 2)(A?B)?C是两个集合（A?B）和C的笛卡尔积，其中集合A?B，又是两个集合的笛卡尔积。 （A?B)?C={1,a,?,1,b,?,2,a,?,2,b,?} 3) A?(B?C)={x,y,z?x?A,y?B,z?c} 说明：若求(B?A)2， 它是两个集合B?A和B?A的笛卡尔儿积，而这两个集合本身是两集合的笛卡尔积。 故(B?A)2=(B?A)?(B?A) ={x,y,z,w?x?B,y?A,z?B,w?A} 3.笛尔儿积的性质 对于任意集合A，A??=?，??A=?； 笛卡尔积运算不满足交换律，即： 当A??，B??，A?B时A?B?B?A； 笛卡儿积运算不满足结合律，即： 当A，B，C均非空时（A?B)?C?A?(B?C）。 例：设A，B，C，D是任意集合，判断下列命题是否正确? 1)若A?B?A?C，则B?C 2)A-(B?C)=(A-B)?(A-C) 3)若A=B，C=D，则A?C=B?D 4)存在集合A使得A?A?A 解： 1)不正确，当A??，B?C时，A?B=A?C=?。 2)不正确，当A=B={1}，C={2}时， A-(B?C)={1}-{1,2}={1},而(A-B)?(A-C)=??{1}=?。 3)正确，由定义可以证明在非空前提下是充要条件。 4)正确，当A=?时，A?A?A。 定理1：对任意三个集合A，B，C,有： 1）A?（B?C）=（A?B）?（A?C） 2）A?（B?C）=（A?B）?（A?C） 3）(A?B）? C =（A?C）? （B?C） 4）(A?B）? C =（A?C）?（B?C） 证明：2）? ?a,b?A?(B