数列中的最大项或最小项问题的求解..doc

数列中的最大项或最小项问题的求解方法 法一 ：利用单调性 ①差值比较法 若有，则，则，即数列是单调递增数列，所以数列的最小项为； 若有，则，则，即数列是单调递减数列，所以数列的最大项为. ②商值比较法 若有对于一切n∈N*成立，且，则，则即数列是单调递增数列，所以数列的最小项为； 若有对于一切n∈N*成立，且，则，则即数列是单调递减数列，所以数列的最小项为. ③利用放缩法 若进行适当放缩，有，则，即数列是单调递增数列，所以数列的最小项为； 若进行适当放缩，有，则，即数列是单调递减数列，所以数列的最大项为. 法二： 先猜后证 通过分析，推测数列的某项(k∈N*)最大（或最小），再证明对于一切n∈N*都成立即可. 这样就将求最值问题转化为不等式的证明问题. 例1 已知函数 ，Sn是数列的前n项和，点（n，Sn）（n∈N*）在曲线上.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若，，且Tn是数列的前n项和. 试问Tn是否存在最大值？若存在，请求出Tn的最大值；若不存在，请说明理由. 解 （Ⅰ）因为点（n，Sn）在曲线上，又，所以. 当n=1时，. 当n1时， 当n=1时，也满足上式，所以. （Ⅱ）因为 ① 所以 ② ③ ②－③得 . 整理得 ④ 利用差值比较法 由④式得，所以 因为，所以. 又，所以所以， 所以. 所以Tn存在最大值 利用商值比较法 由④式得. 因为 所以，即. 所以/ 所以Tn存在最大值. 利用放缩法 由①式得，又因为Tn是数列的前n项和， 所以. 所以 所以Tn存在最大值. 先猜后证 通过分析，推测数列的第一项最在. 下面证明：. 方法① 分析法 因为，所以只要证明. 即只要证明. 只需要证明. 即只要证明 由二项式定理得且时， 所以成立. 所以成立. 所以存在最大值. 方法② 利用数学归纳法 （i）当n=2时，因为，所以，不等式成立. （ii）假设时不等式成立，即. 则当时， 由①式得 所以. 这就是说，当n=k+1时，不等式也成立. 由（i）（ii）得，对于一切且，总有成立. 所以存在最大值. 数列是一种特殊的函数，其通项公式可以视为函数的解析式.因此可以通过判断函数单调性的方法来求函数的最大值，然后通过分析求出数列的最大项.但如果函数的单调性较难判断，那就需要探求另一种途径来解决. 例 若数列的通项公式，求的最大项. 解：设是数列中的最大项， 则，即 解，得， 又∵， ∴或9，. 当时，， ∴的最大项为. 对于这种解法，不少同学可能会存在疑问.下面将可能出现的疑问一一展示，加以分析，以探究问题的实质及其解决方法. 疑问1：为什么要单独讨论的情况？ 分析：由于这个不等式中出现了下标，而数列中的项应该从1开始，因此，即。故应考虑的情况. 疑问2：用这个不等式组求出的一定是最大项吗？ 分析：用求出的不一定是最大项，而只是比前后两项都不小的项，也就是数列这个特殊函数的极大值. 疑问3：用这个不等式组求出的项唯一吗？ 分析：正如一个函数可能有多个极大值一样，一个数列中很有可能存在很多个比前后两项都不小的项，因此这样求出的项不唯一. 疑问4：如果用这个不等式组求出的有多个，那么如何处理？ 分析：将求出的这些对应的项比较大小，取最大者，然后与比较. 疑问5：为什么要与比较？ 分析：由于这个不等式组求得的是时的最大项，因此还需要与比较，二者最大的即为的最大项.正如我们在求函数最大值时，采取比较端点值和极大值的方法，原理是一样的. 疑问6：若不等式组无解，又该如何处理？ 分析：若此不等式组无解，那么此数列无极大项，因此最大项只可能在首项或末项取得.这与当函数无极大值时，最大值必在端点处取得的原理一致. 疑问7：若求得两个相邻的正整数，也要比较这两项的大小吗？ 分析：像本道例题中，或9，而我们发现，同为该数列的最大项.对于一般数列，若用这种方法求出两个相邻的正整数，则.因此，它们对应的项大小相等，不必另行比较. 疑问8：若数列对应的函数具有单调性，也能用这种方法求其最大项吗？ 分析：若函数具有单调性，则不等式组无解，问题又回归到疑问6，最大项即为首项或末项（若该数列是有穷数列，只需比较首、末两项，择其大者，即为最大项；若该数列是无穷数列，则最大项要么为首项，要么不存在，视该数列的单调性而定）. 通过对上述疑问的一一分析，对其进一步探究，我们发现：“极值法”求数列最大项的原理与“极值法”求函数的最大值一致.因此，我们可以得出结论：“极值法”求数列最大项是求数列最大项的通法. 例2 在数列中，，其中． （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）求数列的前项和； （Ⅲ）证明存在，