2025高考数学二轮专题复习专题五概率与统计微拓展 统计与概率中的递推关系 .docx
微拓展统计与概率中的递推关系
[考情分析]统计与概率内容是数学知识的综合应用，也是中学数学一个重要的交汇点，已经成为联系多项知识内容的媒介；数列是高中数学的重点内容，易与其他内容交汇融合.由于此类考题条件多，背景新颖，成为近年各种考试的一个热点问题，其所考查的数学知识和思想方法相当深刻，难度也较大.
考点一递推数列在计数原理中的应用
例1(1)有A1，A2，…，A6共六个人，他们的座位分别为B1，B2，…，B6，现要求每一个人坐一个座位，且都不坐自己座位，则不同的方法种数为()
A.9 B.16
C.44 D.265
答案D
解析记n个人坐座位且自己不坐自己的座位的方法数构成一个数列{an}，易得a2=1，a3=2，
首先，让A1选位，A1不选B1，则共有(n-1)种方法，不妨设A1选了Bk(k≠1)，然后再让Ak选位，
①当Ak选B1时，则余下的(n-2)个人和(n-2)个座位，共有an-2种坐法；
②当Ak不选B1时，则余下的(n-1)个人都有一个不能选的座位，则共有an-1种坐法，
所以an=(n-1)(an-2+an-1)，
所以a4=3(a2+a3)=9，a5=4(a3+a4)=44，a6=5(a4+a5)=265.
(2)如图，一个环形的大会场被分成了n个区域，现有k种不同颜色的服装提供给n个区域的观众，要求同一区域的观众着装颜色相同，且相邻区域的观众着装颜色不同.当k=5，n=6时，共有种不同的着装方法.?
答案4100
解析设提供k种颜色来给排成环形的n个区域涂色且相邻区域不同色，记方法数为fk(n)，
若先考虑给n个排成一行的区域涂色且相邻区域不同色，则方法数应为k·(k-1)n-1，
①若区域1和区域n不同色，则把区域1和区域n粘在一起成一个环状时满足条件；
②若区域1和区域n同色，则把区域1和区域n粘在一起成一个环状时不满足条件，此方法数需从k·(k-1)n-1种方法中减掉.
所以fk(n)=k·(k-1)n-1-fk(n-1)，
易得f5(3)=A53
所以f5(4)=5×(5-1)3-f5(3)=260，
所以f5(5)=5×(5-1)4-f5(4)=1020，
所以f5(6)=5×(5-1)5-f5(5)=4100.
[规律方法]在计数原理中，当计数的基数较大时，用枚举法会显得非常困难.如果问题带有明显的递推特征，把此类计数问题的基数从有限个且数目很少推广到n个，运用数列知识建立递推关系，经过推广就可以解决这类计数问题.
跟踪演练1有9级台阶，每次只能向上走1级、2级或3级台阶(不能往回走)，则走完9级台阶的方法种数为()
A.24 B.44
C.81 D.149
答案D
解析记走完n级台阶的方法种数构成数列{an}，易得a1=1，a2=2，a3=4.
走完这n级台阶可考虑最后一步走的是1级、2级或3级这三种情况，
则an=an-1+an-2+an-3(n≥4).
所以a4=a3+a2+a1=7，
a5=a4+a3+a2=13，
a6=a5+a4+a3=24，
a7=a6+a5+a4=44，
a8=a7+a6+a5=81，
a9=a8+a7+a6=149.
考点二递推数列在概率、统计中的应用
考向1an=p·an-1+q型
例2(多选)[马尔科夫链]某公司员工食堂每天都有米饭和面食两种套餐，已知员工甲每天中午都会在这两种套餐中选择一种，米饭套餐的价格是每份18元，面食套餐的价格是每份12元，如果甲当天选择了某种套餐，他第二天会有60%的可能性换另一种类型的套餐，假如第1天甲选择了米饭套餐，第n天选择米饭套餐的概率为Pn，下列选项中正确的是()
A.P3=0.52
B.Pn=0.4Pn-1+0.6(1-Pn-1)(n≥2，n∈N)
C.Pn=0.4+0.5×(-0.2)n-1
D.前k天甲午餐总费用的数学期望为15k+52-
答案ABD
解析若甲在第(n-1)天选择了米饭套餐，那么在第n天有40%的可能性选择米饭套餐，
甲在第(n-1)天选择了面食套餐，那么在第n天有60%的可能性选择米饭套餐，
所以第n天选择米饭套餐的概率Pn=0.4Pn-1+0.6(1-Pn-1)(n≥2，n∈N)，故B正确；
因为甲在第1天选择了米饭套餐，所以P2=0.4，所以P3=0.6×0.6+0.4×0.4=0.52，故A正确；
由B选项得，Pn=-0.2Pn-1+0.6，所以Pn-0.5=-0.2(Pn-1-0.5)，
又由题意得，P1=1，所以数列{Pn-0.5}是以0.5为首项，-0.2为公比的等比数列，
所以Pn-0.5=0.5×(-0.2)n-1，
所以Pn=0.5+0.5×(-0.2)n-1，故C错误；
前k天甲午餐总费用的数学期望为18×