二元函数的泰勒公式.pdf

二元函数的泰勒公式 1、一元函数泰勒公式： 对于较复杂的函数来说，为了简便研究，往往用一些简单的函数 来近似表达（多项式近似表达函数） 例如： x ln(1 ) ~x x e ~ x 1  上式只有当x 0 ，误差才是比x 的高阶无穷小。 但是：不能具体估计出误差的大小。 y f x ( ) x 泰勒定理（Taylor ）:函数 在含有 的 0 开区间(a , b) 内具有直到n+1 阶导数,当x 在 y f x ( ) x (a , b) 内时， 可以表示为x- 0 的一个 R x( ) n 次多项式，与一个余项 之和： n （1）n 阶泰勒公式： f (x ) 0 f (x ) 0 2 f x f x  ( x )x  ( x )x  ( ) ( ) 0 0 + 0 + 1! 2!  (4) f (x ) 0 f3 x( ) 0 4 ( x )x  0 + ( x )x  0 + …… 3! 4! (()n ) f x 0 n + ( x )x  0 R+ x( ) n! n （2 ）拉格朗日型余项： ( 1)n  f ( ) n1 R x( ) = ( x )x  0 n ( 1)!n  （3 ）函数按x- x 0 的幂展开的n 次近似多项 式： f (x0 ) f (x ) 0 2 f( x) f( x ) 0  ( x )x  0 + ( x )x  0 + 1! 2!  (4) f (x ) 0 f3 x( ) 0 4 x (x  0 ) + ( x )x  0 + …… 3! 4!