2024_2025学年高中数学第三章导数及其应用2.1几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式学案新人教A版选修1_1.doc

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几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式

导思

1.四种常用函数的导数是什么？

2．基本初等函数的导数计算公式是什么？

1.几个常用函数的导数

函数

f(x)＝c

f(x)＝x

f(x)＝x2

f(x)＝eq\f(1,x)

导数

f′(x)＝0

f′(x)＝1

f′(x)＝2x

f′(x)＝－eq\f(1,x2)

函数y＝eq\r(x)也是常用的幂函数，它的导数是什么？

提示：对于幂函数y＝xα，它的导数为y′＝αxα－1，

所以y＝eq\r(x)的导数为f′(x)＝eq\f(1,2\r(x)).

2．基本初等函数的导数公式

(1)函数f(x)＝ax的导数与函数f(x)＝ex的导数之间有什么关系？

(2)函数f(x)＝logax与f(x)＝lnx的导数之间有何关系？

提示：(1)f(x)＝ex是底数为e的指数函数，是特别的指数函数，所以其导数f′(x)＝ex也是f′(x)＝axlna当a＝e时的特别状况．

(2)f(x)＝lnx是f(x)＝logax的一个特例，f(x)＝lnx的导数也是f(x)＝logax的导数的特例．

1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)

(1)(sinx)′＝－cosx．(×)

(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))′＝eq\f(1,x2).(×)

(3)(lnx)′＝eq\f(1,x).(√)

提示：(1)(sinx)′＝cosx．

(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))′＝(x－1)′＝－x－2＝－eq\f(1,x2).

2．已知f(x)＝x2，则f′(3)等于()

A.0B．2xC．6D．9

【解析】选C.因为f(x)＝x2，所以f′(x)＝2x，所以f′(3)＝6.

3．(教材二次开发：练习改编)求下列函数的导数：

(1)y＝log3x.(2)y＝8x.

【解析】(1)y′＝(log3x)′＝eq\f(1,xln3).

(2)y′＝(8x)′＝8xln8＝3×8xln2.

类型一利用导数公式计算导数(数学运算)

1．函数f(x)＝eq\f(1,x)在x＝2和x＝3处的导数的大小关系是()

A.f′(2)f′(3) B．f′(2)f′(3)

C.f′(2)＝f′(3) D．不能确定.

【解析】选A.因为f′(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))′＝－eq\f(1,x2)，

所以f′(2)＝－eq\f(1,22)＝－eq\f(1,4)，f′(3)＝－eq\f(1,32)＝－eq\f(1,9)，

因为－eq\f(1,4)－eq\f(1,9)，

所以f′(2)f′(3).

2．求下列函数的导数．

(1)y＝x6.(2)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x).(3)y＝eq\f(1,x2).

【解析】(1)y′＝(x6)′＝6x5.

(2)y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(x)))′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)lneq\f(1,2)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)ln2.

(3)y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x2)))′＝(x－2)′＝－2x－3.

运用基本初等函数的导数公式求导的留意事项

(1)对于简洁的函数，干脆套用公式．

(2)对于较为困难，不能干脆套用公式的，可先把题中函数恒等变形为基本初等函数，再求导．

【补偿训练】

1.下列结论正确的个数为()

①y＝ln2，则y′＝eq\f(1,2)；②y＝2x，则y′＝2xln2；

③y＝log2x，则y′＝eq\f(1,xln2).

A.0B．1C．2D．3

【解析】选C.①y＝ln2为常数，所以y′＝0，①错；②③均正确，干脆利用公式即可验证．

2．对于函数y＝x2，其导数值等于原函数值的点是________．

【解析】y′＝2x，令2x＝x2,

解得x＝0或x＝2