2024_2025学年高中数学第三章导数及其应用1.3导数的几何意义学案新人教A版选修1_1.doc

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导数的几何意义

导思

1.导数的几何意义是什么，如何求切线的斜率？

2．如何求函数的导函数？

1.导数的几何意义

(1)切线的定义

如图，对于割线PPn，当点Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为点P处的切线．

(2)导数的几何意义

函数f(x)在x＝x0处的导数就是切线PT的斜率k，

即k＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)＝f′(x0)．

(3)本质：是曲线上一点处的切线的斜率．

(4)应用：①求切线的方程；②求直线的倾斜角

(1)曲线的切线与曲线肯定只有一个公共点吗？

(2)曲线的切线与导数有什么关系？

提示：(1)曲线的切线并不肯定与曲线只有一个公共点，可以有多个，甚至可以有无穷多个．

(2)①函数f(x)在x＝x0处有导数，则函数f(x)在该点处必有切线，并且导数值就是该切线的斜率．

②函数f(x)表示的曲线在点(x0，f(x0))处有切线，但函数f(x)在该点处不肯定可导，例如f(x)＝eq\r(3,x)在x＝0处有切线，但不行导．

2．导函数的概念

(1)定义：当x改变时，f′(x)是自变量x的一个函数，称为函数f(x)的导函数(简称导数).

(2)记法：f′(x)或y′，即f′(x)＝y′＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f（x＋Δx）－f（x）,Δx)．

f′(x)与f′(x0)相同吗？它们之间有何关系？

提示：f′(x)与f′(x0)不相同．f′(x)是函数f(x)的导函数，f′(x0)是函数f(x)在x＝x0处的导数值，是函数f′(x)在x＝x0时的函数值．

1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)

(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是函数y＝f(x)在x＝x0处的函数值．(×)

(2)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是函数y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线与x轴所夹锐角的正切值．(×)

(3)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率．(√)

(4)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是点(x0，f(x0))与点(0，0)连线的斜率．(×)

提示：(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值．

(2)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是函数y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线倾斜角的正切值.

(3)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率．

(4)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，不是点(x0，f(x0))与点(0，0)连线的斜率．

2．曲线f(x)＝x3＋2x＋1在点(0，f(0))处的切线的方程为()

A.y＝x－1 B．y＝x＋1

C.y＝2x－1 D．y＝2x＋1

【解析】选D.因为f′(0)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f（Δx）－f（0）,Δx)

＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(（Δx）3＋2Δx＋1－1,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))((Δx)2＋2)＝2，

所以曲线f(x)＝x3＋2x＋1在点(0，f(0))处的切线的斜率为2，

所以切线方程为y－1＝2(x－0)，即y＝2x＋1.

3．设f(x)为可导函数，且满意条件eq\f(f（x＋1）－f（1）,2x)＝5，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为()

A.10B．3C．6D．8

【解析】选A.因为eq\f(f（x＋1）－f（1）,2x)＝5，

所以eq\f(f（x＋1）－f（1）,x)＝10，

即f′(1)＝eq\f(f（x＋1）－f（1）,x)＝10，

因此曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为f′(1)＝10.

类型一求曲线的切线方程(数学运算)

1．设函数f(x)是定义在R上周期为2的可导函数，若f(2)＝2，

且eq\f(f（x＋2）－2,2x)＝－2，则曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程是()

A.y＝－2x＋2 B．y＝－4x＋2

C.y＝4x＋2 D．y＝－eq\f(1,