002第2章ch-2-2离散时间系统分析end-(修复的)-(自动保存的).docx

2.2离散系统的时域分析 离散系统分析与连续系统分析在于多方面是相互平行的，有许多类似之处。连续系统可用微分方程描述，离散系统可用差分方程描述。差分方程和微分方程的许多求解方法在许多方面是相互对应的。在连续系统分析中，卷积积分具有重要的意义；在离散系统中，卷积和也具有同等重要的地位。连续系统分析与离散系统分析的相似性为读者学习本章节提供了有力条件，不过，读者应该十分注意他们之间存在着的重要差异。 在离散系统分析中，激励（输入）用表示，响应（输出）用表示，其中为整数；初始状态用表示，其中为正常数，通常取。 下面，从离散系统的差分方程（或系统框图）及其求解开始，研究离散系统的时域分析。 2.2.1 LTI离散系统的响应 差分与差分方程 与连续时间信号的微分与积分运算相对应，离散时间信号有差分及序列求和运算。设有序列，则称，，，等为的位移序列。序列的差分可分为前向差分和后向差分。一阶前向差分定义为 （2.2-1） 一阶后向差分定义为 （2.2-2） 式中和称为差分算子。由式（2.2-1）和（2.2-2）可见，前向差分与后向差分的关系为 （2.2-3） 二者仅位移不同，没有原则的差别，因而它们的性质也相同。本书主要采用后向差分，并简称其为差分。 由差分的定义，若有序列、和常数、，则 （2.1-4） 这表明差分运算具有线性性质。 二阶差分可定义为 （2.2-5） 类似的，可定义三阶、四阶、五阶···差分。一般的，阶差分 （2.2-6） 式中 （2.2-7） 为二项式系数。 序列的求和运算为 （2.2-8） 差分方程是包含关于变量的未知序列及各阶差分方程的方程式，它的一般形式可写为 （2.2-9a） 式中差分的最高阶为阶，称为阶差分方程。由式（2.2-6）可知，各阶差分均可写成及其各位移序列的线性组合，故上式常写为 （2.2-9b） 通常所说的差分方程是指式（2.2-9b）形式的方程。 差分方程是具有递推关系的代数方程，若已知初始条件和激励，利用迭代法可求得差分方程的数值解。 例2.2-1 若描述某离散系统的差分方程为 已知初始条件激励，求。 解：将差分方程中除以外的各项都移到等号右端，得 对于将已知初始值代入上式，得 类似地，一次迭代可得 由上例可见，用迭代法求解差分方程思路清楚，便于编写计算机程序，能得到方程的数值解，但它常常不宜得出解析形式（或称闭式）的解。 2.2.2差分方程的经典解 一般而言，如果单输入-单输出的系统的激励为，其全响应为，那么，描述该系统激励与响应之间的关系的数学模型是阶常系数线性差分方程，它可以写为 （2.2-10a） 式中，都是常数。上式可缩写为 (式中) （2.2-10b） 与微分方程的经典解相类似，上述差分方程的解由齐次节和特解两部分组成。齐次解用表示，特解用表示。即 （2.2-11） 齐次解 当式（2.2-10）中的及其各位移项均为零时，齐次方程 （2.2-12） （2.2-12）的解称为齐次解。 首先分析最简单的一阶差分方程，若一阶差分方程的齐次方程为 （2.2-13） 它可改写为 与之比等于表明，序列是一个公比为的等比序列，因此应有如下形式 （2.2-14） 式中为常数，由初始条件确定。 对于阶齐次差分方程，它的齐次解由形式为的序列组合而成，将代入到时（2.2-12），得 由于，消去；且，以除上式，得 （2.2-15） 上式称为差分方程（2.1-10）和（2.1-12）的特征方程，它有个根，称为差分方程的特征根。显然，形式为的序列都满足式（2.2-12），因而它们是式（2.1-10）方程的解。依特征根的不同取值，差分方程齐次解的形式如表2.2-1，其中、、、等为待定常数。 表2.2-1 不同特征根所对应的齐次解 特征根 齐次解 单实根 重实根 一对共轭复根 或，其中 特解 特解的函数形式与激励的函数形式有关，表2.2-2列出了几种典型的激励所对应的特解的。选定特解后代入原差分方程，求出其待定系数（或、）等，就得出方程的特解。 表2.2-2 不同激励所对应的齐次解 激励 齐次解 所有特征根均不等于1时； 当有重等于1的特征根时。 ，当不等于特征根时； 当是特征根时； ，当是重特征根时。 或 当所有的特征根均不等于 或，其中 全解 式（2.2-10）的线性差分方程的完全解是其齐次解与特解之和。如果方程的特征根均为单根，则差分方程的全解为 （2.2-16） 如果特征根为重根，而其余个特征根为单根时，差分方程的全解为 （2.2-17） 式中系数、由初始条件确定。 如果激励信号是在时接入的，差