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3.2 一次函数 与一元一次不等式 都昌中学 任何一个一元一次方程都可以转化为 的形式; 所以解一元一次方程可以转化为： 当一次函数的值为 时，求相应的 的值 kx+b=0 0 自变量 从图像上看： 这相当于已知直线y=kx+b,确定它与 的交点 的 坐标 X轴 横 解一元一次方程可以利用一次函数的图像 一次函数与一元一次方程 我们来看下面的问题 1. 解不等式：5x+6＞3x+10 这两个问题有什么关系? 2. 当自变量x为何值时，函数y=2x-4值大于0? 问题1中，不等式可化为 2x-4＞0， 解得 x＞2 问题2中，是要解不等式 2x-4＞0， 得出 x＞2 时， 函数y=2x-4值大于0. 这两个问题实际是同一个问题 1. 是不是所有的一元一次不等式都可以转化为一次函数的相关问题呢？ 2. 它在函数图像上的表现是什么呢？ 3. 如何通过函数图像来求解一元一次不等式？ 以上这些问题就是我们这一节将要学习的问题. 我们来看下面的问题 1. 解不等式：5x+6＞3x+10 这两个问题有什么关系? 2. 当自变量x为何值时，函数y=2x-4值大于0? y=2x-4 可以看出当x＞2时，直线上的点全在x轴的上方。 即：x＞2时, y=2x-4 ＞0 由此可知：通过函数图像可以求不等式的解集 2 -4 x y 0 同理: x 2时, y=2x-4 0 观察函数y=2x-4 的图像, “解方程ax+b=0(a,b为常数,a≠0)”与 “求自变量x为何值时,一次函数y=ax+b的值为0”有什么关系? “解不等式ax+b0(a,b为常数,a≠0)”与 “求自变量x为什么范围内,一次函数y=ax+b的值大于0”有什么关系? （同一个问题） （同一个问题） 由于任何一元一次不等式都可以转化为ax+b ＞0或ax+b＜0(a,b为常数，a≠0)的形式，所以解一元一次不等式可以看作： 当一次函数值大于或小于0时，求自变量相应的取值范围。 已知一次函数 y = 2x+1,根据它的图象回答下列问题. (1) x 取什么值时,函数值 y 为1? (2) x 取什么值是,函数值 y 大于3? (3) x 取什么值时,函数值 y 小于3? 解：作出函数 y = 2x+1的图象 及直线y = 3 （如图） y = 2x +1 y= 3 从图中可知： （1）当 x = 1 时，函数值 y 为1。 （2）当x 1 时，函数值 y 大于3。 （3）当x 1 时，函数值 y 小于3。 2 -6 x y 0 用画函数图象的方法解不等式： 不等式化为 3x-6 ＜0 画出函数y=3x-6的图像 这时 y=3x-6 ＜0 ∴ 此不等式的解集为x ＜2 y=3x-6 5x+4＜2x+10 解： 由图像可以看出： 当 x＜2 时这条直线上的点在x轴的下方， 5x+4＜2x+10 解法二： 把 5x+4＜2x+10 看做两个一次函数y=5x+4和y=2x+10, 画出y=5x+4和y=2x+10的图像. 10 -5 y=2x+10 y=5x+4 2 它们的交点的横坐标为2. 当x＜2时直线y=5x+4 上的点都在直线y=2x+10的下方. x ＜2 x y 0 14 4 由图像可知 即5x+4＜2x+10 ∴此不等式的解集为 10 -5 y=2x+10 y=5x+4 2 x y 0 14 4 两种解不等式的方法都是把不等式转化为比较直线上点的位置的高低 2 -6 x y 0 y=3x-6 归纳 小结 从数的角度看： 从形的角度看： 求ax+b＞0（a≠0） 的解 y=ax+b的值大于0 x为何值时 求ax+b＞0（a≠0） 的解 所对应的x值 直线y=ax+b 在x轴上方的图象 随堂练习 1 1. 当自变量x的取值满足什么条件时， 函数y=3x+8的值满足下列条件？ x y 0 8 8 3 解： （3）画直线 y=3x+8 由图象可知 y0 时对应的 x -8/3 ∴ 当x -8/3时， y 0 y=3x+8 （4）y＜2 （3）y 0 [P126] 随堂练习 1 1. 当自变量x的取值满足什么条件时， 函数y=3x+8的值满足下列条件？ x y 0 -2 2 8 8 3 解： （4）画直线 y=3x+8 由图象可知 y＜2 时对应的 x＜-2 ∴ 当x＜-2时， y＜2 y=3x