Boussinesq型方程和Navier-Stokes方程适定性及正则性的研究的开题报告.docx

Boussinesq型方程和Navier-Stokes方程适定性及正则性的研究的开题报告

1.研究背景和意义

Boussinesq型方程和Navier-Stokes方程是描述流体运动的重要偏微分方程。前者在自然对流和对流传热等领域有着重要应用，后者则涉及到水力学和气动学等众多领域。然而，这两个方程的适定性和正则性问题一直是数学和物理学家们关注的焦点之一。

适定性问题指的是方程解的存在性、唯一性、稳定性等问题；正则性问题则是指方程解的光滑性和良好性质等。这些问题的解决不仅有助于深入理解流体的力学特性，还为现实应用提供了可靠的理论基础。

2.研究内容和方法

本研究旨在探究Boussinesq型方程和Navier-Stokes方程的适定性和正则性问题。具体内容包括：

（1）探究方程解的存在性和唯一性问题，建立相应的数学模型并进行分析。

（2）考虑特定初始条件和边界条件下的方程解稳定性问题，将问题归结为非线性波动方程解的稳定性问题。

（3）研究方程解在时间和空间上的光滑性和良好性质，探究方程解的局部存在和全局存在性问题。

在方法上，本研究将结合数学分析、泛函分析、偏微分方程理论等多种数学工具，以求得对问题本质的深入理解和有效的解决方法。

3.研究意义和创新点

本研究的意义在于，对Boussinesq型方程和Navier-Stokes方程适定性和正则性问题进行深入的研究，有助于深刻理解流体力学特性及其数学描述，为工程应用提供更加准确的理论基础。此外，本研究的创新点在于，结合多种数学方法，从不同角度探究适定性和正则性问题，更加深入地理解这两个方程本质，并为未来的相关研究提供参考。

4.研究计划和进度

本研究计划分为以下几个阶段：

（1）阅读相关文献，深入理解Boussinesq型方程和Navier-Stokes方程的基本理论和经典结果，进一步了解适定性和正则性问题的研究现状。预计用时1个月。

（2）建立数学模型，探究方程解的存在性和唯一性问题，进一步细化问题并分析数学性质。预计用时2个月。

（3）研究方程解的稳定性问题，将问题归结为非线性波动方程解的稳定性问题，进行深入分析。预计用时3个月。

（4）探究方程解在时间和空间上的光滑性和良好性质，进一步研究局部存在和全局存在性问题。预计用时4个月。

（5）撰写论文，对研究成果进行整理和总结，并对未来相关研究提出展望。预计用时2个月。

总计用时12个月。