多自由度耦合振动分析.ppt

§1.4.3多自由度的耦合振动 、弱耦合的二振子系统(两个自由度) 设:两个振子:m,k;m,k。两个振子之间:用软弹簧 x连接—实现两个振子的耦合 xk:弱耦合 又设:滑块1、滑块2的平衡位置为坐标原点,作两轴 O1x13O2x2,则:势能为 U(x2x2)=k2+kx2+x(x1-x2)2 拉格朗日函数 L=T-U 2-x(x-x2) 由拉格朗日方程得到运动方程: +x1=7x2 a2=(k+x)/m +ox2=77x1 设:解的形式为 x,=Relce I x,=Re[c ea 两个滑块以同一频率振动 (b-O)C1-nC2=0 7 关于C,C的齐次方程组 非零解条件 b+7 C1,C的两组解:C=C;C12)=C2) (具体值由初始条件定) C矩阵形式的解 显然,它们是相互正交的,即 归一化:令 1/2,有 满足正交归一条件 耦合振子系统有两个振动频率:o1,∞2与a,O2 对应有两种确定的集体振动模式 一般情况下,振动是以上两种振动模式的叠加 x互(14+(1R1m1 二、对称矩阵的本征值与本征矢 为将二耦合振子系统推广到任意s个耦合振子系统, 将前面关于的方程改写成矩阵形式 列二行矩阵U可看成一个二维空间中的矢量。 般:2×2对称矩阵S作用在一个任意二维空间矢量 上,会改变它的大小和方向,即SU和U一般 不平行 但:sU=U表明此式中的矢量U受到S的作用后, 不改变方向,而只是乘上一个常数元。 定义:U矩阵S的本征矢,2—与本征矢U对应 的本征值,SU=AU对称矩阵S的本征方程