第3章：多自由度振动3分析.ppt

可见，第一主振型对位移的影响远大于第二主振型的影响。多自由度体系位移计算时，由于高阶振型分量影响很小，故通常只计算前2～3个振型的影响即可。 例.求图示体系在突加荷载作用下的位移反应. 解: m1 m2 已知: 加荷前静止。 §3.6 有阻尼的受迫振动 一.多自由度系统的阻尼 阻尼力的机理很复杂，难以给出恰当的数学描述 通常等效为粘性阻尼 粘性阻尼系数 系统仅沿第j个坐标有单位速度时，沿第i个坐标必须施加的力 二. 动力学方程 利用拉格朗日方程，可以得到系统的动力学方程 写成矩阵形式 仍然利用振型叠加法 主坐标 几何坐标向量 振型矩阵 其中 荷载向量 结构质量矩阵 结构阻尼矩阵 结构刚度矩阵 三.方程求解 Rayleigh阻尼 将 代入动力学方程 并两边左乘 得到 其中 一般情况下，振型关于阻尼矩阵不具有正交性,因此，此时的动力学方程无法求解 为便于求解，通常假定阻尼矩阵C为质量矩阵M和刚度矩阵K的线性组合 式中，a和b为两个待定系数 此时 即变成对角矩阵 令 模态阻尼矩阵 原动力学方程组化为 其中第j个方程 写成标准形式 可利用杜哈梅积分求出各主坐标的受迫振动的解 ，如果初始条件为零，则有 其中 四. 系数a和b的确定 上述求解，是在比例阻尼基础之上的，那么系数a和b如何确定呢？一般需要通过实验测定 因为 可以解得 注意到 便有 由实验测第一和第二振型的阻尼比 和 将它们与相应的频率代入上式，联立求解可得 STDU DYNAMICS OF STRUCTURES § 3.3 频率方程的零根和重根情形 看右图示例子，其刚度矩阵和质量矩阵为 一.零根情形 代入频率方程　　　　　　 可解得 请你思考：造成固有频率为零的数学原因和物理原因是什么？ 一般说来，将 代入频率方程 导出 可见，从数学的角度来看，造成频率方程有零根的充分必要条件是 由于刚度矩阵的行列式值等于零，所以此时刚度矩阵为奇异矩阵，即：此时柔度矩阵Ｆ不存在。 仔细观察刚才的系统，发现它没有外界的约束，系统可以含有任意的刚体位移，因此，要求系统的柔度矩阵是不可能的。 因此，从物理的角度来看，造成频率方程有零根的充分必要条件是：系统含有刚体位移。 上述系统称为半正定系统。 假定 相应的主坐标方程为 积分得 表明此主振动转化为随时间t匀速增大的刚体位移 系统的刚体自由度可以利用模态的正交性条件消除 设 为零固有频率对应的刚体位移模态 正交性条件要求 为系统的除刚体位移之外的其它模态 将上式各项乘以与 相应的主坐标 并对i=2至n求和 令 为系统消除刚体位移后的自由振动，导出以下约束条件 利用此约束条件可消去系统的一个自由度，得到不含刚体位移的缩减系统。缩减系统的刚度矩阵不再奇异 例4 讨论两端自由的轴上三个圆盘的扭转振动。各盘绕转动轴的转动惯量分别为J，2J和J，轴的抗扭刚度均为k。 解 以 ， ， 为广义坐标，系统的动能和势能分别为 代入拉氏方程，导出动力学方程为 其中 直接验证可知 刚度矩阵为半正定 系统的本征方程为 解出固有频率 并可计算出相应模态 其中与零频率对应的一阶模态为刚体转动，其模态示意图见下面 系统模态 1 1 1 1 -1 1 1 -1 为消去刚体转动自由度，将刚体转动模态　　代入 导出如下的约束条件 解出 将解出的　再代入系统的动能和势能得到 代入拉氏方程，缩减系统的质量矩阵和刚度矩阵 缩减后的刚度矩阵为正定矩阵，对应的本征方程为 解出缩减系统的频率和模态为 缩减系统与未缩减系统的计算结果完全相同 注：缩减系统的动力学方程也可以将约束方程直接代入原来的未缩减系统动力学平衡方程得到 二.重根情形 在复杂系统中会出现某些特征值非常接近甚至相等的现象，如柔性航天结构。 下面讨论特征值重根时系统的模态和其正交问题 不失一般性，假设 则在计算与该频率相对应的模态时，振幅方程组中会有两个方程不独立 将A的最后两个元素 的有关项移至等号右端 和 任意给定 ， 两组线性独立的值 ， 和 ， 比如令 从前面方程组解出其余 n-2个 的两组解 记作 此组合的第1、第2阶模态显然不是唯一的,也不是正交的。为 保证它们之间满足正交性条件，令 也是原方程组的解 显然 与 令 正交 解出待定常数 从而得到相互独立且正交的第1、第2阶模态。 思考：这样求得的前两阶模态与其余的n-2个模态是否正交？为什么？ 例 讨论图示由等刚度弹簧支承的质点的平面运动，设质点的质量为m ，弹簧的刚度均为k/2 。 解 系统的动力学方程为 本征方程为 固有频率为 取模态为 满足正交性条件 取模态为 也满足正交性条件 §3.4 多自由度系统在简谐激励下的受迫振动 回顾:单自由度