奇异函数在材料力学中的应用：（二）杆件变形的计算.doc

奇异函数在材料力学中的应用：（二）杆件变形的计算 奇异函数在材料力学中的应用 (二)杆件变形的计算 取嚣篓篓’程序柙惭,汁哥,派妇/I-析关键词奇异函数材料力学程序烹材牛禹{}’订墨J1-;frr 在文献[1]中笔者系统地介绍了奇异函数及其在材料力学中的应用,奇异函数可以很方便 地描述力学计算中遇到的不连续量,使繁琐的计算变得简便了.本文在此基础上,就奇异函致 在杆件变形计算中的应用做深入的讨论. 从算例中我们可以看出,应用奇异函数计算杆件变形是诸多计算变形方法中最为简捷的 一 种方法. 1轴向拉压 我们知道,杆件在轴向集中力(P.)和轴向均布荷载(丸)共同作用下(图1)任意截面上的 轴力方程(z)为 (-r)一∑Pi(工一q). +∑丸(lt;z—n,) J 一 (z—at)).(1) 此时杆件任意截面的轴向变形方程△(z)为 肌)=』.等d-r(2) 车文于1996—10—17收到 对于等截面杆件,将(1)式代入(2)式得 血=刳.[∑州z一时. +∑丸(lt;z—n,gt;一(z一口,)),]dz 积分后得; 舭,一击[翠蹦z～,+军A(堕一旦),]+c㈤ 式中C为待定常数,可由所求问题的边界条件确定. 算例1.等截面直杆受力如图2所示.此杆材料的弹性模量E=200GPa,杆件横截面面积 A=2.5×10.mm..求此杆的变形△. 解:由平衡条件∑X一0 得R一10KN(一) 由(3)式得此杆的变形方程△(z)为 △(z)=南[R扛～.)+PI(z一0?1) 一 P2lt;z一0.2)+P3(z一0.4) 一 一(半一半)]+c 由此杆的边界条件:z一0,△(O)一0;得C一0.将有关数据代入上式,则杆的变形A为 .一瓦南’10(.?5一.gt;4-2.’._5一.?1)一40(.?5一.?2gt; +,s(..s一..tgt;一s.(笪L掣一堡L掣)] = 击[10×o.5+20×0.4一∞×0.3+15×o.1—50(字)] = 0.045×10-*m=0.045mm(伸长) 2扭转变形 圆轴在集中力偶矩巩和均布力偶矩’共同作用下(如图3)任意截面的扭矩方程了1(z)为 了1(z)一∑ml(x—n.).+ ∑t,((z—n.) 一 lt;z—algt;),(4) 此时圆轴扭转角方程”z)为 “z)=击p(圳z㈣ 第2期荆振华:奇异函数在材料力学中的应用 将(4)式代入(5)式得 )一瓦1JZmt(～).+∑(lt;一.)一lt;一))]d 积分后得 一 击[z一+(一).]+c㈤ 式中C为待定常数,可由所求问题的边界条件确定. 算例2?圆轴受力如图4所示.轴直径d一40mm,轴所用材料的剪切弹性模量G=80 GPa.求此轴截面相对A截面的扭转角吼 解:首先计算GI=80×10,× (0.04)2O.11×10N 将已知数据代入(6)式得 .r)一 L一400lt;z一0)+1000(x～1) 一400(z一3)一200(z一4.5)3+C图4 因为扭转角是相对角位移?则可假设A端固定,其边界条件:=0,0)一0;代入上式得C 0.则此圆轴的扭转角为 1 _i[一400×4?5+1000×3?5—400×1.5—200×O3 —0.0547rad一3.13. 3弯曲变形 梁在集中力偶矩呐,集中力P和均布荷 载共同作用下(图5)的弯矩方程M)为 M(z)=∑帆lt;z—ai). +∑Pj(x—aj) J 一 (与 一 与).21,.… 梁在弯曲变形时挠曲线近似微分方程为 将(7)式代入(8)式得 :dxtEI(8) 4辽宁省交通高等专科学校1997年 拳一击[m.r一.+尸J一一(!三二!::一!三二!2】2】 对上式(二次)积分,便得到梁弯曲变形时的转角方程0)和挠曲线方程)如下 c.r一击[砚一+ 一 (与一与)]+c㈤ c一击m+ 一 ((.r转 角方程和挠曲线方程如下: (.r)一面1[一40lt;x--3)+30 — 15 ()=Elr k一 一 l5 .r一2 21 40 一 2 31 由边界条件:.r一0,Y一0; .r一4,Y一0; 将c,D代入(a),(b)二式得 一 10 3) 2I 2) 图6 — 10 +C +.o与一o与 一 10]++D 代入(b)式得D一0; 代入(b)式得C一一57.08 口()一[一4.(.r一3)+3.一l.土 一 s一10与一.s] .)一[一40+30土一l.. (a) (b) 第2期荆振华:奇异函数在材料力学中的应用 s与一.与一棚] 把C,D截面的坐标代入以上二式,得 一)一2-_-.13O×10_’rad(顺时针) %一口)一.;一1.46×10rad(逆时针) =)一2一一4.74mm(+) yo--)一2.s=一4.41Film() 4袖珍机MODELP