2018年高考数学总复习--随机变量及分布.doc

第二节 随机变量及其分布 考纲解读 1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性。 2.理解超几何分布及其推导过程，并能进行简单的应用。 3.了解条件概率和两个事件相互独立的概念，理解次独立重复实验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题。 4.理解取有限个值的离散型变量均值，方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题。 5.利用实际问题的频率分布直方图，了解正态分布密度曲线的特点及曲线所表示的意义。 命题趋势探究 1.高考命题中，该部分命题形式有选择题、填空题，但更多的是解答题。 2.主要以离散型随机变量分布列为主体命题，计算离散型随机变量的期望和方差，其中二项分布与超几何分布为重要考点，难度中等以下。 3.有关正态分布的考题多为一道小题。 知识点精讲 一、条件概率与独立事件 （1）在事件A发生的条件下，时间B发生的概率叫做A发生时B发生的条件概率，记作 ，条件概率公式为 。 （2）若，即,称与为相互独立事件。 与相互独立，即发生与否对的发生与否无影响，反之亦然。即相互独立，则有公式。 （3）在次独立重复实验中，事件发生次的概率记作，记在其中一次实验中发生的概率为 ，则 . 二、离散型随机变量分布列、期望、方差及其性质 （1）离散型随机变量的分布列（如表13-1所示）. 表13-1 ? ① ; ② . （2）表示的期望：，反应随机变量的平均水平，若随机变量满足，则. （3）表示的方差：，反映随机变量取值的波动性。越小表明随机变量越稳定，反之越不稳定。若随机变量满足，则。 三、几种特殊的分布列、期望、方差 0 1 1- （1）两点分布（又称0，1分布） = ，= . （2）二项分布：若在一次实验中事件发生的概率为，则在次独立重复实验中恰好发生次概率 ，称服从参数为的二项分布，记作 ，=，=. （3）几何分布：若在一次实验中事件发生的概率为 ，则在次独立重复实验中，在第次首次发生的概率为 ，， 。 （4）超几何分布：总数为的两类物品，其中一类为件，从中取件恰含中的件， ，其中为与的较小者，，称 服从参数为的超几何分布，记作 ，此时有公式。 四、正态分布 （1）若是正态随机变量，其概率密度曲线的函数表达式为 ， （其中是参数，且，）。 其图像如图13-7所示，有以下性质： ①曲线在轴上方，并且关于直线对称； ②曲线在处处于最高点，并且此处向左右两边延伸时，逐渐降低，呈现“中间高，两边低”的形状； ③曲线的形状由确定，越大，曲线越“矮胖”，越小，曲线越“高瘦”； ④图像与轴之间的面积为1. （2）= ，= ，记作 . 当时， 服从标准正态分布，记作 . （3） ，则在， ，上取值的概率分别为68.3%，95.4%，99.7%，这叫做正态分布的原则。 题型归纳及思路提示 题型178 概率的计算 思路提示 要分析题中事件是独立事件、互斥事件还是对立事件，然后考虑用相应的概率公式计算，若A，B为独立事件，则有，若A,B为互斥事件，则 ，若A，B为对立事件，则 ，如果为条件概率，则需选用条件概率公式计算（其中A，B为两个事件，表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率）。 例13.7 甲乙两人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立。已知前2局中，甲乙各胜1局。 （1）求再赛2局结束这次比赛的概率； （2）求甲获得这次比赛胜利的概率。 分析：前2局中甲乙各胜1局是已发生的事情，计算其后的概率不考虑已发生的情况。 解析：（1）一局中甲胜记为A，则再赛2局比赛结束，意味着甲或乙连胜2局，故此事件可表示 ，由与互斥，并考虑比赛结果互斥，所以有 （2）甲获胜可表示为 ，从而（甲获胜） . 评注：只要分析清楚比赛的可能进程，将问题“大化小”，即将问题划分为若干个彼此互斥的事件，然后利用概率的加法公式和乘法公式来求解，在运用概率的加法公式与乘法公式时，要注意正确运用事件的互斥性、独立性等，即可按顺序完成解答。 变式1 甲乙丙射手击中目标的概率分别为0.6，0.7，0.8，求： （1）甲乙丙3人各射击一次，恰一人击中目标的概率； （2）3人各射击一次，至少一次击中目标的概率； （3）每人射击3次，甲乙丙击中次数依次为1、2、3次的概率（甲乙丙每次击中目标与否相互独立）。 变式2 甲乙丙三人参加一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约，乙丙则约定：两人面试都合格就一周签约，否则两人都不签约，设每人面试合格的概率都是 ，且面试是否合格互不影响，求： （1）至少一人面试合格的概率； （2）没人签约的概率。 例13.