02 第二节 双因素试验的方差分析.doc

第二节 双因素试验的方差分析 在许多实际问题中，往往要同时考虑两个因素对试验指标的影响. 例如，要同时考虑工人的技术和机器对产品质量是否有显著影响. 这里涉及到工人的技术和机器这样两个因素. 多因素方差分析与单因素方差分析的基本思想是一致的，不同之处就在于各因素不但对试验指标起作用，而且各因素不同水平的搭配也对试验指标起作用. 统计学上把多因素不同水平的搭配对试验指标的影响称为交互作用. 交互作用的效应只有在有重复的试验中才能分析出来. 对于双因素试验的方差分析，我们分为无重复和等重复试验两种情况来讨论. 对无重复试验只需要检验两个因素对试验结果有无显著影响；而对等重复试验还要考察两个因素的交互作用对试验结果有无显著影响. 内容分布图示 ★ 引言 ★ 无重复试验双因素方差分析 ★ 例1 ★ 例2 等重复试验双因素方差分析 ★ 数学模型 ★ 数学模型的改进 ★ 偏差平方和及其分解 ★ 偏差平方和的统计特征 ★ 检验方法 ★ 例3 ★ 例4 ★ 内容小结 ★ 习题8-2 内容要点： 一、 无重复试验双因素方差分析 设因素A，B作用于试验指标。因素A有r个水平A，A，，A，因素B有s个水平B，B，，B. 对因素A，B的每一个水平的一对组合（A，B），(i=1，2，，r，j=1，2，，s)只进行一次实验，得到 个试验结果，列于下表中 表8-2-1 因素 因 素 B 试 验 结 果 因 素 A … … … … X 假设前提 与单因素方差分析的假设前提相同，仍假设： 1) ，未知， 2) 每个总体的方差相同； 3) 各相互独立， 那么，要比较同一因素的各个总体的均值是否一致，就是要检验各个总体的均值是否相等，故检验假设为： 备择假设为 由假设有 （和未知），记=，即有~故可视为随机误差. 从而得到如下数学模型 引入记号：=， =，i=1，2，，r， =，j=1，2，，s， =，i=1，2，，r， =，j=1，2，，s， 易见，. 称为总平均，称为水平A的效应，称为水平B的效应. 且 =++. 于是上述模型进一步可写成 检验假设： 若（或）成立，则认为因素的影响不显著，否则影响显著。 2. 偏差平方和及其分解 类似于单因素方差分析，需要将总偏差平方和进行分解. 记 将总偏差平方和进行分解： S= 由于在的展式中三个交叉项的乘积都等于零，故有 , 其中, , S= 我们称S为误差平方和；分别称S，S为因素A、因素B的偏差平方和. 类似地，可以证明当、成立时，有 1) 分别服从自由度依次为的分布; 2) 相互独立. 3. 检验方法 当为真时，可以证明 F=~ 取显著性水平为，得假设的拒绝域为 F= 类似地，当为真时，可以证明 F=~ 取显著性水平为，得假设的拒绝域为 F= 实际分析中，常采用如下简便算法和记号： 记 T= T=, T=, 则 S=, S=, S=, S=S-S-S. 可得如下方差分析表： 表8-2-2无重复试验双因素方差分析表 二、无重复试验双因素方差分析 设因素A，B作用于试验指标. 因素A有r个水平A，A，，A，因素B有s个水平B，B，，B. 对因素A，B的每一个水平的一对组合（A，B），(i=1，2，，r，j=1，2，，s)只进行次实验（称为等重复实验），得到个试验结果 （. 假设前提 1) ，未知， 2) 每个总体的方差相同； 3) 各相互独立，. 由假设有 （和未知），记=，即有~ 故可视为随机误差. 从而得到如下数学模型 类似地，引入记号：，易见 ，. 仍称为总平均，称为水平A的效应，称为水平B的效应. 这样可以将表示成 =++ +（）， 其中（），称为水平A和水平B的交互效应， 这是由A与B搭配联合起作用而引起的。易见 ，j=1，2，，s， 从而前述数学模型可改写为 其中，，，及都是未知参数. 假设检验为 ： (1) (2) (3) 与无重复试验的情况类似，此类问题的检验方法也是建立在偏差平方和的分解上的。 2. 偏差平方和及其分解 引入记号：=， =，i=1，2，，r，j=1，2，，s， =，i=1，2，，r， =，j=1，2，，s。 称总偏差平方和（称为总变差）为 S=。 上式可分解为 S=S+S+S+S 其中 S=， S=st, S= rt,