【孟】求矩阵特征值与特征向量 乘幂与逆乘幂 注释版【孟】.docx

第6章?求矩阵特征值与特征向量?第16讲? 乘幂法和逆幂法　　一、?乘幂法的基本思想　　乘幂法是求实方阵A按模最大特征值及相应的特征向量的一种迭代方法。它的基本思想是，先任取非零初始向量??，然后作迭代序列??再根据??增大时，??各分量的变化规律，求出方阵A 的按模最大的特征值及相应的特征向量。　　先看一个实例　例1. 设矩阵　　?　　用特征方程容易求得??的两个特征值为　　　　下面我们用乘幂法来计算，任取初始向量??，计算向量序列　　　　具体计算列表如下：　　　　考虑两个相邻向量相应分量之比：　　????　　由上面计算看出，两个相邻向量相应分量之比值，随着??的增大而趋向于一个固定值，并且此值恰好就是方阵A 的按模最大的特征值。　　　　二、乘幂法的计算公式?　　设矩阵A的n个特征值按模的大小排列为：　　│λ1│≥│λ2│≥…≥│λn│　　其相应的特征向量为?　　e1, e2,…, en　　且它们是线性无关的。　　先任取非零初始向量??，作迭代序列　　??　　首先将??表示为　　　　　　所以??　　为了得出计算??和??的公式，下面分三种情况讨论　　1. ?λ1为实根，且│λ1││λ2│。　　当a1不为0，k充分大时，则有　　　　所以????（6.2）2．??为实根，且λ1=-λ2，│λ2││λ3│。　　当a1?，a2不为0，k充分大时，则有　　　　于是得??????????????????　　从而有?????????????????（6.3）　　（3）λ1=u+iv, λ2=u-iv,且│λ2││λ3│。当k充分大时，则有　　　　（推导过程参见教材164-165）在实际应用幂法时，可根据迭代向量各分量的变化情况判断属于那种情况。　　若迭代向量各分量单调变化，且有关系式Xk+1=cXk，则属于第1种情况；　　若迭代向量各分量不是单调变化，但有关系式Xk+2=cXk，则属于第2种情况；　　若迭代向量各分量变化不规则，但有关系式Xk+2+pXk+1+qXk≈0，则属于第3种情况；??? 为了防止溢出，可采用迭代公式：??????????????????（6.6）这里面的代表Yk绝对值最大的分量.　例2?乘幂法求矩阵??按模最大特征值和相应特征向量。　　解?取X0=（1，1，1）T，用乘幂法迭代公式?????????????Xk+1=AXk，k=0,1,….　　计算列表如下：　　　　所以　　事实上，　　矩阵??的最大特征值为?　　其相应的特征向量为?三、逆幂法　　 1. 求A按模最小的特征值　　设非奇异矩阵A的n个特征值为λ1≥λ2≥…≥λn，其相应的特征向量为 e1, e2,…, en，则??的特征值为???　　其相应的特征向量仍为 e1, e2,…, en。　　A-1按模最大的特征值的倒数则为矩阵A按模最小的特征值。　　利用乘幂法求A-1按模最大的特征值。???? 任取初始非零初始向量X0，作迭代序列???????????????Xk+1=?A-1Xk，k=0,1,…．　　它等价于??????????????????AXk+1=Xk，k=0,1,…?．?? （6.8）　　我们可以通过反迭代过程，即解方程组????????????????????AXk+1=Xk，k=0,1,…．求得Xk+1?。????? 当│λn-1││λn│，a?n≠0, k充分大时，则有???????????　　在实际计算中，为了减少运算量，先将矩阵A作三角分解?????????????????????????A=LR　　然后再求解方程组?2．求在??附近的特征值?　　设与??最接近的特征值为??即有??　　　　作矩阵??，它的特征值和相应的特征向量为????????　　若用逆幂法于矩阵??，则有???????????????????　　则可求出矩阵??的按模最小的特征值和相应的特征向量为?????????　　?于是得A在??? 附近的特征值和相应的特征向量为???????????（6.10）　例3?用逆幂法求矩阵??在3.4附近的特征值和相应的特征向量?　　解?对A-3.4I进行三角分解得：　　　　用半次迭代法，取??，则?　　得???　　再解??　　得???　　再解??　　得???　　于是???????????????　　作业　　练习6.1　　1．用乘幂法求矩阵??按模最大特征值与特征向量。????????????????????　　习题6　　1. 用乘幂法求下列矩阵按模最大特征值与特征向量。?　　（2）?