07均匀分布·指数分布·随机变量函数概率分布2.doc

概率论与数理统计习题解答 第一章 随机事件及其概率 7 均匀分布·指数分布·随机变量函数的概率分布 一、公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车通过．乘客到达汽车站的任一时刻是等可能的．求乘客候车时间 不超过3分钟的概率． 解：设随机变量表示“乘客的候车时间”，则服从上的均匀分布，其密度函数为 于是有 二、已知某种电子元件的使用寿命(单位:h)服从指数分布，概率密度为 　　任取３个这种电子元件，求至少有１个能使用1000h以上的概率． 解：设表示“至少有１个电子元件能使用1000h以上”；分别表示“元件甲、乙、丙能使用1000h以上”．则 　　　 （另解）设表示“至少有１个电子元件能使用1000h以上”．则 　　从而有，进一步有 三、(1) 设随机变量服从指数分布．证明：对于任意非负实数及，有 　　 这个性质叫做指数分布的无记忆性． (2) 设电视机的使用年数服从指数分布．某人买了一台旧电视机，求还能使用５年以上 的概率． 解：（１）因为，所以，有，其中为的分布函数． 设，．因为及都是非负实数，所以，从而．根据条件概率公式，我们有 　　　　　　　　　　　　　． 　　另一方面，我们有 ． 　　综上所述，故有 ． （２）由题设，知的概率密度为 　　设某人购买的这台旧电视机已经使用了年，则根据上述证明的（１）的结论，该电视机还能使用5年以上的概率为 ． 答：该电视机还能使用5年以上的概率约为． 设随机变量服从二项分布，求下列随机变量函数的概率分布： （1）；（2）． 解：的分布律为 0123 （1）的分布律为 1 （2）的分布律为 0110 即 01 五、设随机变量的概率密度为 求随机变量函数的概率密度． 解：因为 所以随机变量函数的概率密度为 ，即 ．