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三角函数的应用练习题及答案 正﹑余弦函数的叠合 　　我们先考虑以下的问题：要如何画出 y＝sin x＋cos x 的图形呢？我们可以先将 y＝sin x 和 y＝cos x 的图形画在同一个坐标平面上，然后采最直觉的方式，取特殊的三角函数值叠加起来描点，之后再用平滑曲线将这些点连接起来，即得 y＝sin x＋cos x 的图形。 例题1 考虑 sin x＋cos x，试求： (1) 叠合成正弦函数的形式，即 r sin（x＋θ），其中 r＞0，θ 为实数。 (2) 叠合成余弦函数的形式，即 r cos（x＋θ），其中 r＞0，θ 为实数。 解　依据正﹑余弦函数的和角公式，得 (1) sin x＋cos x＝2 ＝。 (2) sin x＋cos x＝2＝2＝2 cos。 随堂练习 考虑 2 sin x－2 cos x，试求： (1) 叠合成正弦函数的形式，即 r sin（x＋θ），其中 r＞0，θ 为实数。 (2) 叠合成余弦函数的形式，即 r cos（x＋θ），其中 r＞0，θ 为实数。 ※正﹑余弦函数的叠合公式 设 a，b 是不全为 0 的实数，则 a sin x＋b cos x＝sin（x＋θ）， 其中 θ 满足 cos θ＝，sin θ＝。 a sin x＋b cos x 可以叠合成一个正弦函数，振幅放大为 物理上的意义 　　在物理上，正﹑余弦函数通常用来描述水波，电波等现象，例如电场强度，电流强度等。正﹑余弦函数的叠合公式说明，在适当的条件下，相同周期的波互相叠合后振幅会增大，这就是物理上的共振现象 例题2 (1) 试求 y＝sin x＋cos x 的最大值与最小值。 (2) 承(1)，试求在 0 ≤ x ≤ 2π 的范围中何时发生最大值。 解　(1) 函数 y＝sin x＋cos x 可叠合成 2 sin， 因为－1 ≤ sin ≤ 1，所以－2 ≤ 2 sin ≤ 2， 故 y 的最大值为 2，最小值为－2。 (2) 最大值发生时，sin＝1，因此 x＋＝＋2nπ，其中 n 是任意整数。 即 x＝＋2nπ，其中 n 是任意整数。 因为 0 ≤ x ≤ 2π，故取 n＝0，即 x＝时有最大值。 随堂练习 试求 y＝3 sin x＋4 cos x 的最大值与最小值。 求最大值与最小值 － ≤ a sin x＋b cos x ≤ 。 例题3 试求 y＝2 sin－2 cos x 的最大值。 解　先用和角公式展开，得 y＝2－2 cos x＝－sin x－cos x， 　　由叠合公式可知－2 ≤ －sin x－cos x ≤ 2，因此 y 的最大值为 2。 随堂练习 试求 sin＋cos的最小值。 例题4 试求 y＝sin2 x－4 sin x cos x＋3 cos2 x 的最大值与最小值。 解　先将原式化为 2x 的三角函数，再利用半角公式﹑和角公式与叠合，得 y＝sin2 x－2（2 sin x cos x）＋3 cos2 x ＝－2 sin 2x＋3 ＝－2 sin 2x＋cos 2x＋2 ＝sin（2x＋θ）＋2， (1) 当 sin（2x＋θ）＝1 时，y 有最大值 2＋， (2) 当 sin（2x＋θ）＝－1 时，y 有最小值 2－。 随堂练习 试求 y＝sin2 x＋sin x cos x＋cos2 x 的最大值和最小值。 周期不同的正﹑余弦函数叠合后的波形，就不一定是形如 r sin（x＋θ）的单一函数了。 例题5 在 0 ≤ x＜2π 的范围内，解不等式 sin x＋cos x ≤ 1。 解　由叠合可知sin x＋cos x ≤ 1 sin ≤ 1 ≤ ， 　　令 θ＝x＋，故 ≤ θ＜，又 sin θ ≤ ， 　　由 y＝sin θ 的图形， 　　可得 θ＝或 ≤ θ＜，故x＝0 或 ≤ x＜2π。 随堂练习 在 0 ≤ x ≤ π 的范围内，解不等式 sin x＋cos x ≥ 1。  ※圆的参数式 圆 C：（x－h）2＋（y－k）2＝r2 的参数式为 ，0 ≤ θ＜2π。 例题6 试将下列各圆表示成参数式： (1) C1：x2＋y2＝9。 (2) C2：（x－1）2＋（y－2）2＝4。 解　(1) C1：x2＋y2＝9 的参数式为 ，0 ≤ θ＜2π。 (2) C2：（x－1）2＋（y－2）2＝4 的参数式为 ，0 ≤ θ＜2π， 即，0 ≤ θ＜2π。 随堂练习 设圆 C 的参数式为，0 ≤ θ＜2π，试求圆 C 的面积。  ※椭圆的参数式 (1) 中心在（h，k），其长轴与 x 轴平行或重合的椭圆 Γ： 参数式为，0 ≤ θ＜2π，。 (2) 中心在（h，k），其长轴与