《无理数e的文化性研究》毕业学术论文.doc

本科生毕业设计（论文） 无理数的文化性研究 二级学院 ： 专 业 ： 年 级 ： 学 号 ： 作者姓名 ： 指导教师 ： 完成日期 ： 2013年4月28日 目 录 1 引言 1 2 的典故研究 2 2.1 数的起源 2 2.2 符号的出现 3 2.2.1 莱布尼茨表示法 3 2.2.2 欧拉表示法 3 2.2.3 李善兰表示法 3 2.3 数的无理性和超越性 3 2.3.1 无理性 4 2.3.2 超越性 5 3 的计算 5 3.1 值计算的精确度 5 3.2 值计算方法 5 4 的发展和应用 6 4.1 欧拉公式 6 4.2 与有关的奇妙的数 7 4.3 与概率统计 7 4.4 与微分方程 8 4.5 与解析几何 9 5 小结 9 无理数的文化性研究 摘 要：本文从无理数的典故、计算及其发展与应用进行了文化性研究. 关键词：无理数；典故；计算；文化性 Cultural Characteristic?of?Irrational?Number Abstract: Cultural characteristic of irrational number is discussed from its allusion ,computation, its development and application. Key words:irrational numbers ；irrationality；transcendence；cultural characteristic 1 引言 目前，数学文化性研究大体可以分为三类:一是把数学的理论教学、学习与数学相关的内容等统称为数学文化；二是把现有的数学典故、数学问题、数学方法、数学观点、数学思想作为一种数学文化，把以往的数学知识、理论的学习上升到观念、方法、思维等层面；三是从文化史和数学哲学的层面上，对数学文化的存在形式、中西数学文化的对比、中西数学价值观念的比较、中西数学理性精神比较等方面展开研究.[1][2] 和都是著名的无理数，其中数是著名无理数中唯一一个不为古人所知的无理数，从历史上看，数出现要比晚很多.人们知道圆周率至少是在公元前200多年前出现的，而数的出现则在17世纪.欧拉被认为是历史上第一个指出是一个无理数的人.1844年，法国著名数学家刘维尔第一次证明了超越数的存在，并且证明了不可能是有理系数的二次方程的根.19世纪末，法国数学家埃尔米特证明是一个超越数.随着科学技术的发展，计算的方法越来越多，可以得到的的精确度也越来越高.而且无理数在其它领域的作用越来越重要.例如在概率论、微分方程、解析几何等学科. 在中学教学中如何向学生讲述自然对数是一大难题.我国中学教材处理这个问题的办法历来是不讲它的意义和定义，只告诉学生数是一个无理数，.这使得数变得很神秘.学生们对数的文化性了解就显得非常有限，不利于引起学生学习的兴趣.为了使学生更加清楚的了解数的来龙去脉，引起学生的好奇心，提高学生数学文化水平.本文广泛地参考了各类文献， 特别是文献[5]后，对无理数的文化性研究进行阐述，力求详细研究无理数典故、计算及其在其他学科中的应用. 2 的典故研究 2.1 数的起源 数学对象的来源有两种:一是直接来源于实践.人们通过实践活动，进行归纳、概括、抽象，而得到数学对象的理性认识.二是来源于数学本身的矛盾运动.数学的某个系统的矛盾运动，促使人们构造新的数学对象，而得到关于数学对象在更高层次上的认识.数来源于后一种情境. 首次被发现不是通过对数符号而是通过对一个复利问题的研究.约翰·贝努利（Jocob Bernoulli，1645－1705）在他的一本关于概率论的书《猜度术》中有这样一个有趣的结果，假定一个人年初投资1元，年利率为100%，则年末他将有2元钱而不是1元钱.如果一年分次记息，年利率为100%，则每期利率为，第1期后他有（元），第2期后他有（元），第期后即年末他有（元）.特别地，当时，年末他有=2.25元；当时，年末他有元.显然随着的增大也增大，若以分秒记息，即当充分大时，这个人到底能称为富翁吗?如果实行瞬时复利，那么=?贝努利证明了，即不管如何在1元上算复利，一年后所得到的利本和不会超过3元. 一般地，若本金为元，年利率为，一年分次记息，则每期利率为，1年后的利本和为，年后的利本和为，那么年后的连续复利为. 他在1683年研究复利时，证明了当趋于无穷时，数列有极限并且证明了这个极限介于2与3之间，这个极限值就是后来人们称之为的数.当然，约翰·贝努利当时并没有认识到这个极限与对数的关系，也没有把两者联系在一起. 2.2 符号的出现 数