无理数的存在性证明及应用(本科) 毕业论文 .doc

本科毕业论文 无理数的存在性证明及应用 目 录 1 引言 1 2 文献综述 1 2.1 国内外研究状况现状 1 2.2 国内研究状况现状评价 1 3 的发现及定义 1 3.1 的发现及符号表示 1 3.2 的定义 5 3.2.1收敛级数定义 5 3.2.2极限定义 6 3.3 的意义 7 4 的存在性与无理性证明 8 4.1 的存在性证明 8 4.2 的无理性证明 11 5 的应用 11 5.1 在求极限中的应用 11 5.2 正态分布——概率论中的 13 5.3 生活实际问题 13 5.4 银行复利率问题 14 6 结论 16 6.1 主要发现 16 6.2 启示 16 6.3 局限性 16 6.4 努力方向 16 参考文献 17 1 引言 一位著名的学者曾说过：“如果没有数和数的性质，世界上任何事物本身或其与别的事物的关系都不能为人所清楚了解”. 确实，人类文明的发展与进步得益于人们对数的研究与实践. 甚至有些数极为重要，譬如大家所熟悉的0和1，还有其它更加重要的常数，如，，， ，人们习惯分别称它们为圆周率、虚数单位、黄金分割数、纳皮尔常数. 关于前三者的论述文章非常多，而似乎是一个习以为常的数,不被人们所重视. 它随着科技发展越来越多地出现在微积分、概率统计等学科中；它是今天银行业中对银行家最有帮助的一个数，此外在考古学中古生物年限的鉴定中也有涉及. 目前，初等数学教材以及理工科相关教材中对于通常作如下定义：“在科学技术中常常使用无理数，它的前十位小数是2.7182818284……，以其为底的对数叫做自然对数，为了简便，N的自然对数 记为，以为底的指数函数和自然对数函数在高等数学中占有极重要地位”.那么，常数到底是一个怎样的一个数呢？其值是如何而来的？在十进制的数系统里，用这样奇怪的数为底，难道会比以10为底的常用对数更自然吗？它还有哪些方面的应用？ 2 文献综述 2.1 国内外研究状况现状 在所查阅到的国内外参考文献[1-15]中，文献[1]论述了对数与的起源之间的关系、表示形式、无理性与超越性；文献[2]论述了无理数的极限表示形式；文献[3]简单介绍了数的近似计算及超越性证明；文献[4-7]介绍了数的对数表的编制及发展过程；文献[8]论述了无理数在科学技术中占有重要地位及其应用并给出了的无理性简洁证明；文献[9-15]介绍了的发现历史过程和性质. 2.2 国内研究状况现状评价 在所查阅到的国内外参考文献[1-15]中，大多是针对的无理性证明进行研究，研究比较分散，没有系统地归纳和研究，对的产生背景及应用的研究不多. 3 的发现及定义 3.1 的发现及符号表示 早在15,16世纪，随着天文和航海等技术研究的广泛兴起，解决天文计算的困难成了当时最紧迫的任务. 如何把大数的乘、除、乘方、开方运算转化为加、减、运算成为当时的一种迫切要求，也引起了大家的思考. 1544年，德国数学家斯蒂菲尔在《整数算术》一书中论述了等差数列和等比数列的关系. 对于下面两个数列 他把上面一行命名为指数，并指出：“上行的加、减、乘和除分别对应于下行的乘、除、乘方和开方”. 若将上行的数记为，下行的数记为，则上、下两行中相应的数满足，一般地，若以1为公差的等差数列与以为公比的等比数列相互对应，则等比数列中任意两数的积或商就可以用等差数列中对应上述两数的和或差求得，且两行中相应的数恒有关系：. 在此关系中，以为真数，为底，为对数，则可利用与进行简单的计算. 但是，这种关系对于简化计算而言尚不具有实用价值，因为在上表中只能做与偶数及的整数幂有关的计算，而不可能做其他数的计算. 因此，要把这种想法发展到能够实用的程度，就必须使两个数列的数间距足够小，假如在等差数列中插入中项： ， 还必须算出对应的数列 . 然而，因当时还不能计算指数为小数的幂，因此这种想法就不可能推广使用. 1614年，英国数学家纳皮尔在爱丁堡出版他的著作《论述奇妙的对数》，成为历史上第一个给对数命名的人.瑞士钟表制造者比尔吉于1620年以《算术与几何级数表》为题也公布了对数表. 早在1647年，比利时数学家圣文森特就计算了等轴双曲线下图形的积分，至于他是否发现了它与对数的联系，这在数学史上是有争议的. 直到1661年，荷兰数学家惠更斯清楚解释了等轴双曲线的面积与对数之间的关系. 1667年，英国数学家格雷戈里也通过计算双曲线和渐进线所围成的图形面积来计算对数. 用图1或图2的面积表示对数时图1的面积不是的连续函数，而图2的面积却是的连续函数.可以想象，图2表示的对数比图1表示的对数有着许多简便的地方，所以丹麦数学家买卡托在1668年出版的《对数技术》中将图形