证明：无理数比有理数多。.doc

证明：无理数比有理数多证明之前需要清楚以下几个概念和定义。1、有理数包含整数和分数，任意一个有理数可以化成a/b，a、b为整数且b不等于02、无理数是无限不循环小数，是一切不属于有理数的实数。3.证明两个数集一样多可以用一一对应的方法。可数集合是指能和自然数一一对应的集合。例如偶数 2 4 6 8 10……自然数1 2 3 4 5 6 7 8……任意一个自然数n，都可以有偶数2n与之对应。 所以整数与偶数一样多。偶数集是一个可数集合。--------------------------------------------------------------------------------------- 首先证明，任意两个可数集的合集仍为可数集。设集合A={a1,a2,a3...},B={b1,b2,b3...}且A,B集合均为可数集合也就是A: a1 a2 a3 ... B: b1 b2 b3 ...分别与自然数相对应1 2 3 ... 1 2 3 ...则AB合集{a1,b1,a2,b2,a3,b3...} 可与自然数一一对应a1 b1 a2 b2 a3 b3 ...1 2 3 4 5 6 ...所以两个可数集的合集是可数集。下面证明有理数是可数集，也就是有理数和自然数一样多。有理数可以化成a/b,a,b皆为整数且b不为0,将它化成集合C=(a,b)因为a为整数，b为不为0的整数，所以a、b都是可数的。设a=1,则可以得到新的集合Ca={(1,1),(1,-1),(1,2),(1,-2)...}因为b是可数的，所以Ca集合也是可数的。设b=1,得到集合Cb={(1,1),(-1,1),(2,1),(-2,1)...}同上，Cb也是可数集合。根据前一证明，两个可数集的合集可数，所以Ca与Cb的合集C为可数集合，即有理数为可数集，所以有理数和自然数一样多。 然后证明，实数集是不可数的。设一个无理数H=0.abcdefgh.... ,a,b,c,d,e,f,g,h..是1-8间的正整数。假设a=4,b=2,c=3,d=4,e=7,f=6,g=3,h=5,...则H=0..假设0和1间的所有实数是可数的。设它的集合X={x1,x2,x3,...}x1 x2 x3 x4 x5 ....1 2 3 4 5 ....设a和x1小数点第一位不同b和x2的小数点第一位不同c和x3的小数点第一位不同……根据已设条件，无理数H小数点后每一位都在1-8之间。也就是H不可能为0.0000000....=0 或者 0.999999999999...=1所以H也在0和1之间又因为 a和x1小数点第一位不同b和x2的小数点第一位不同c和x3的小数点第一位不同 ……所以H不可能出现在X集合里，也就是H不在01之间由此出现前后矛盾，01之间的实数应为不可数。所以实数也是不可数的。最后证明无理数是不可数的。根据前面的证明过程，实数分为有理数和无理数，已证明实数集不可数而有理数集可数所以无理数不可数所以无理数比有理数多。